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第三章导数微分边际与弹性

来源:网络收集 时间:2018-10-23 下载这篇文档 手机版
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微积分教案

章节 次数 第10讲:第三章 §3.1 导数概念 教学目的要求 1. 理解导数概念,意义。 2. 知道导数的几何意义与经济意义。 3. 了解函数的可导性与连续性之间的关系。 引例:变速直线运动的速度,平面曲线的切线斜率 主要内容 导数的定义与几何意义 可导与连续的关系。 重点难点 教学方法 和手段 对导数概念的理解,及其可导与连续的关系。 以讲授为主,使用电子教案 课后作业练习 作业: 97页 习题3-1: 4、5,6,7、8,10,12,13,15 备注

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第三章 导数、微分、边际与弹性

第一节 导数概念

教学目的与要求:理解导数概念,意义

教学重点(难点):对导数概念理解,及其与连续的关系 一、引例 二、导数的定义

f?(x0)?lim?lim?y

?x?0?x

f(x0??x)?f(x0)?x?0?x

f(x)?f(x0)?limx?x0x?x0?x?0 f?(x)?lim左导数

f(x??x)?f(x)

?xf??(x)?lim-?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0) ?lim?x?x?xx?x00右导数

f??(x)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0) ?lim?x?x?xx?x00?(x0)?f??(x0)?A ∴ f?(x0)?A?f?三、导数的几何意义

曲线y?f?x? 在点?x0,y0?处切线:y?y0?f??x0??x?x0?

1?xsin例1 讨论f(x)??x??0?解:∵ limf(x)?limxsinx?0x?0x?0 x?0在x = 0处可导性.

1?0?f(0) ,f(x)在x = 0连续 x∴

limx?0f(x)-f(0)1?limsin 不存在 , x?0x-0xlimh?0f(x)在x = 0不可导

例2 已知f?(x0)存在,则

f(x0?2h)-f(x0)/?2f(x0)

hlimh?0f(x0?5h)?f(x0)/??5f(x0)

hlimh?0f(x0?3h)?f(x0?h)f(x0?3h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)=lim[?]?4f?(x0) h?0hhh 22

f2(x?Δx)?f2(x)例3 设函数f(x)可微, 则Δxlim?0Δx?2f(x)f?(x)

?4 设 f(x)??x2例x?x?0

??ax?bx?0为使f(x)在x = x0 处可导,应如何选取常数a、b。 解:首先f(x)必须在x0连续

limf(x)?limx2?x2x?x0 ; lim0-x?x0-x?x?f(x)?xlim?x?ax?b?ax0?b 00∴ ax?b?x20

f)?f(x)?f(x20)x2?x0??(x0?limxlim?x??lim?0x-x?x?x0?2x0 0x?x0x-x0x?x0f(xlimf(x)?f(x20)ax?b-x0ax-ax0??0)??x-x?lim??lim??a

x?x00x?x0x-x0x?x0x-x0∵ f?(x20)存在

∴ a?2x0。 从而 b??x0(由①得)

例5 f(x)= x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则f/?0???9!

∵ f?(0)?limf(x)?f(0)x?0x?0?limx?0(x?1)(x?2)??(x?9)??9! 例6 设f(x)在x = 0 领域内连续,limf(x)x?01?x?1?2, 则 f?(0)?1

∵ f(0)?limx?0f(x)?0

(分母→0)

∴ f?(0)?lf(x)?f(0)f(x)x?im0x?0?lx?im0x ?limf(x)x?01?x-1?1?x?11x?2?2?1 例7 设函数 f (1+x ) = a f ( x ) ,且 f?(0)?b

(a , b ≠0), 问f?(1)存在否?

解:f?(1)?limf(1?Δx)?f(1)x?limaf(Δx)-af(0)Δx

Δx?0ΔΔx?0 ?limaf(?x)-f(0)?x?0??x?af?(0)?ab

四、可导与连续的关系 可以证明:可导→连续。

即可导是连续的充分条件;连续是可导的必要条件。

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微积分教案

章节 次数 第11讲:第三章 §3.2求导法则与基本初等函数求导公式(一) 教学目的要求 1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。 2. 熟练利用法则求导。 主要内容 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 重点难点 教学方法 和手段 课后作业练习 求导法则的应用。 以讲授为主,使用电子教案 作业: 107页 习题3-2: 2、3(2)(4)(6)(8)(10),4、 备注

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第二节 求导法则与基本初等函数求导公式(一)

教学目的与要求:理解求导法则,利用法则求导

教学重点(难点): 求导法则的应用 一、基本初等函数导数 二、导数四则运算法则

例1 设y?x3cosx?3sinx?cos?3,求y?

分析:先用法则展开,再用基本公式求导,解略

例2 设y?xlog3x?2xlnx,求y?

1分析:先用法则展开,然后根据基本公式求导,x?x2解略

例3 证明(1)(tanx)??sec2x?1cos2x

(2)(secx)??secxtanx

分析:用三角公式化简tanx?sinxcosx,secx?1cosx,然后用公式与法则证明。例4 设y?xinx1?x2求y?,y?x?1

分析:用法则公式师生共同讨论给出。

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