2015年广东省南海中学七校高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2015年广东省南海中学七校高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A． （0，1） B． （0，2] C． （1，2） D． （1，2]

2．下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A． y=2 B． y=lnx C． y=x

3．下列有关命题的说法正确的是（ ）

22

A． 命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”

2

B． “x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C． 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

22

D． 命题“?x∈R使得x+x+1＜0”的否定是“?x∈R均有x+x+1＜0”

﹣x

﹣2

D． y=|x|﹣1

4．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（ ） A． 20 B． 22 C． 24 D． 28

5．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y=2px的焦点的距离为4，且双曲线的

2

一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A． 2 B． 2 C． 4 D． 4

6．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

成立的是（ ）

A．

7．已知函数

B． C． D．

，若f（2﹣a）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）

B． （﹣1，2）

C． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

D． （﹣∞，

2

A． （﹣2，1）

﹣2）∪（1，+∞）

8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA上，且HA1=1．点E，F分别为

2

棱B1C，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF．则当点P运动时，|HP|的最小值是（ ）

握不等式恒成立1所取的条件．理解等价转化思想22用．

A． 7﹣ B． 27﹣6 C． 51﹣14 D． 14﹣2

二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）

9．函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为 ．

10．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为 ．

11．已知圆O过椭圆

12．设函数f（x）=x（e+ae）是定义在R上的偶函数，则实数a= ．

13．已知长为的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且

，则点P的轨迹方程为 ．

选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分.（坐标系与参数方程选讲选做题） 14．已知曲线

（θ为参数）与曲线

（t为参数）有一个公共点，

x

﹣x

的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，则圆O的方程为 ．

则实数k的值为 ．

（几何证明选讲选做题）

1015?南海区校级模拟）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，已知CD=2，AB=BC=3，则AC的长为 ．

握不等式恒成立2所取的条件．理解等价转化思想22用．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=（Ⅰ）求∠BCD的大小；

（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．

．D为AC延长线上一点，且CD=

+1．

17．某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族 的人数 占本组 的频率 1 [25，30） 120 0.6 2 [30，35） 195 P 3 [35，40） 100 0.5 4 [40，45） a 0.4 5 [45，50） 30 0.3 6 [50，55） 15 0.3

（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；

（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

握不等式恒成立3所取的条件．理解等价转化思想22用．

18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点． （Ⅰ） 求证：A1O∥平面AB1C；

（Ⅱ） 求直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值．

，底面ABCD

19．已知抛物线C：y=ax（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为，

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x﹣2上，且，现过A作C的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB，求A点的横坐标t的值．

2

20．已知数列{an}满足a1=，an=2﹣

（n≥2），Sn是数列{bn}的前n项和，且有

=1+

bn．

（1）证明：数列{}为等差数列；

（2）求数列{bn}的通项公式； （3）设cn=

21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x﹣bx+1（b为常数）．

（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值； （2）若b=0，h（x）=f（x）﹣g（x），?x1、x2[1，2]使得h（x1）﹣h（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．

握不等式恒成立4所取的条件．理解等价转化思想22用．

2

，记数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜1．

握不等式恒成立5所取的条件．理解等价转化思想22用．

2015年广东省南海中学七校高考数学模拟试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A． （0，1） B． （0，2] C． （1，2） D． （1，2]

考点： 交集及其运算；其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集． 解答： 解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴A∩B=（1，2]． 故选D 点评： 此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）

A． y=2 B． y=lnx C． y=x D． y=|x|﹣1

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．

解答： 解：A，y=2定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合； B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意； C，函数y=x的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意； D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确． 故选：D． 点评： 本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，以及基本函数奇偶性和单调性，考查了推理判断的能力．

3．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A． 命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”

2

B． “x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C． 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

22

D． 命题“?x∈R使得x+x+1＜0”的否定是“?x∈R均有x+x+1＜0”

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

分析： A．利用否命题的定义即可判断出；

握不等式恒成立6所取的条件．理解等价转化思想22用．

2

2

﹣2

﹣x

﹣x

﹣2

B．由x﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可判断出； C．利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出； D．利用命题的否定即可判断出．

22

解答： 解：A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x≠1，则x≠1”，因此不正确；

22

B．由x﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确； C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；

22

D．命题“?x∈R使得x+x+1＜0”的否定是“?x∈R，均有x+x+1≥0”，因此不正确． 综上可得：只有C正确． 故选：C． 点评： 本题考查了简易逻辑的判定，属于基础题．

4．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（ ） A． 20 B． 22 C． 24 D． 28

考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题． 分析： 由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a8的值，然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值相等，即可求出所求式子的值．

解答： 解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120， 解得a8=24，

且a8+a12=2a10，则2a10﹣a12=a8=24． 故选C 点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．

5．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y=2px的焦点的距离为4，且双曲线的

2

2

一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A． 2 B． 2 C． 4 D． 4

考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．

解答： 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y=2px的准线方程为x=﹣，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；

点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x， 握不等式恒成立7所取的条件．理解等价转化思想22用．

2

由双曲线的性质，可得b=1； 则c=，则焦距为2c=2； 故选B． 点评： 本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．

6．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

成立的是（ ）

A． B． C． D．

考点： 平行向量与共线向量． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 根据向量共线定理，可得若

项并结合数乘向量的含义，可得本题答案． 解答： 解：由

得

，即

，则向量

共线且方向相反，

成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选

因此当向量共线且方向相反时，能使成立．

对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反； C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直． 只有A项能确定向量、共线且方向相反． 故选：A

点评： 本题给出非零向量、，求使量共线定理等知识，属于中档题．

7．已知函数

，若f（2﹣a）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）

C． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

D． （﹣∞，

2

成立的条件．着重考查了数乘向量的含义与向

A． （﹣2，1） B． （﹣1，2）

﹣2）∪（1，+∞）

考点： 分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用．

握不等式恒成立8所取的条件．理解等价转化思想22用．

分析： 先得到函数f（x）在定义域上是增函数，再由函数单调性定义求解即可． 解答： 解：由分段函数可得当x≥0时f（x）=x+4x=（x+2）﹣4为增函数，

22

当x＜0时，f（x）=4x﹣x=﹣（x﹣2）+4为增函数， ∴f（x）在定义域上是增函数（如图）

2

若f（2﹣a）＞f（a），

22

则2﹣a＞a，即a+a﹣2＜0 解得：﹣2＜a＜1

∴实数a的取值范围是（﹣2，1）， 故选：A．

2

2

点评： 本题主要考查函数的单调性定义在解不等式中的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．本题也可以直接利用数形结合进行判断．

8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA上，且HA1=1．点E，F分别为

2

棱B1C，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF．则当点P运动时，|HP|的最小值是（ ）

A． 7﹣ B． 27﹣6 C． 51﹣14 D． 14﹣2

考点： 棱柱的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据题意，画出图形，结合图形，得出GP最小时，HP取得最小值，求出此时GP的值即可．

握不等式恒成立9所取的条件．理解等价转化思想22用．

解答： 解：以EF为直径在平面BCC1B1内做圆，该圆的半径为|EF|=再过H引BB1的垂线，垂足为G，连接GP，

222

∴HP=HG+GP，其中HG为棱长4，

因此当GP最小时，HP取得最小值，此时GP=3﹣∴HP=

22

，

； ；

+4=9﹣6

2

+2+16=27﹣6

∴HP的最小值为27﹣6故选：B

．如图所示

点评： 本题考查了空间位置关系与距离的求法问题，解题的关键是得出GP最小时，HP取得最小值，是较难的题目．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）

9．函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为 （﹣∞，0）∪（3，+∞） ．

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 令g（x）=|x﹣1|+|x﹣2|﹣3，g（x）＞0?|x﹣1|+|x﹣2|＞3，通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号再解即可．

解答： 解：令g（x）=|x﹣1|+|x﹣2|﹣3， 则g（x）＞0，

∴|x﹣1|+|x﹣2|＞3；

当x＜1时，1﹣x+2﹣x＞3， 解得：x＜0，又x＜1， ∴x＜0；

当1≤x≤2时，有x﹣1+2﹣x＞3，即1＞3， ∴x∈?；

当x＞2时，有x﹣1+x﹣2＞3， 解得：x＞3，又x＞2， ∴x＞3；

综上所述，函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪（3，+∞）． 点评： 本题考查绝对值不等式的解法，考查对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．

握不等式恒成立10所取的条件．理解等价转化思想22用．

10．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为 ．

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解． 解答： 解：∵|4+3i|=

．

由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5， 即z=

∴z的虚部为． 故答案为：．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

11．已知圆O过椭圆

2

．

的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，则圆O的方程为 x+（y﹣1）2

=5 ．

考点： 椭圆的简单性质；圆的标准方程． 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求出椭圆

的两焦点，圆心O（a，a+1），利用圆O过椭圆

的两焦点且关

于直线x﹣y+1=0对称，求出圆心与半径，即可求出圆O的方程． 解答： 解：椭圆

的两焦点为（2，0），（﹣2，0）．

由题意设圆心O（a，a+1），则 ∵圆O过椭圆

的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，

∴a=0，

∴圆心为（0，1），半径为，

22

∴圆O的方程为x+（y﹣1）=5．

22

故答案为：x+（y﹣1）=5． 点评： 本题考查椭圆的性质，考查圆的方程，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．

12．设函数f（x）=x（e+ae）是定义在R上的偶函数，则实数a= ﹣1 ．

握不等式恒成立11所取的条件．理解等价转化思想22用．

x

﹣x

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数是偶函数，建立方程f（﹣x）=f（x）进行求解即可． 解答： 解：∵f（x）=x（e+ae）是定义在R上的偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），

即﹣x（e+ae）=x（e+ae），

﹣x﹣xxx

即﹣e﹣ae=e+ae， 即a=﹣1且﹣a=1， 解得a=﹣1， 故答案为：﹣1 点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键．

13．已知长为的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且

，则点P的轨迹方程为

考点： 轨迹方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 欲求点P的轨迹方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用

，

．

﹣x

x﹣x

xx﹣x

确定坐标之间的关系，结合长为的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，即可得出结论．

解答： 解：设P（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），则 ∵

，

（﹣x，y0﹣y），

，

+1，

，

．

．

∴（x﹣x0，y）=∴∵|AB|=∴∴∴故答案为：

点评： 本小题主要考查曲线与方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分.（坐标系与参数方程选讲选做题）

握不等式恒成立12所取的条件．理解等价转化思想22用．

14．已知曲线（θ为参数）与曲线（t为参数）有一个公共点，

则实数k的值为 ．

考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： 根据平方关系得到C1的普通方程，消去参数得到C2的普通方程，联立两个普通方程消去y，利用△=0列出方程求出k的值即可． 解答： 解：由题意知，曲线消去θ得，

，

，

由曲线得，y=kx﹣2，

由得，，

所以△=16解得k=故答案为：

，

．

=4k﹣6=0，

2

点评： 本题考查参数方程化为普通方程，平方关系，以及利用代数法解决直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

（几何证明选讲选做题）

1015?南海区校级模拟）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，已知CD=2

，AB=BC=3，则AC的长为

．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；压轴题．

握不等式恒成立13所取的条件．理解等价转化思想22用．

分析： 由已知CD是过点C圆的切线，根据切割线定理及已知中CD=2，AB=BC=3，易求出BD的长，进而求出AD的长，由弦切角定理可得：∠DCB=∠A，又由∠D是△DCB与△DAC的公共角，我们易得△DCB∽△DAC根据三角形相似对应边成比例，我们即可求出AC的长． 解答： 解：∵CD是过点C圆的切线 DBA为圆的割线 由切割线定理得：

CD=DB?DA

由CD=2，AB=BC=3 解得BD=4 ∴DA=7

由弦切角定理可得：∠DCB=∠A，又由∠D=∠D ∴△DCB∽△DAC ∴BC?DA=AC?CD

由BC=3，DA=7，CD=2，得 AC=

2

故答案为：

点评： 本题考查的知识点是切割线定理，弦切角定理，三角形相似的判定与性质，要求线段的长，我们一般要要先分析已知线段与未知线段的位置关系，再选择恰当的定理或性质进行解答．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=（Ⅰ）求∠BCD的大小；

（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．

．D为AC延长线上一点，且CD=

+1．

考点： 余弦定理的应用． 专题： 解三角形．

分析： （Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；

（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积． 解答： （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在△ABC中， 因为

由正弦定理可得

，

，

，

握不等式恒成立14所取的条件．理解等价转化思想22用．

即，

所以．

．

因为∠ACB为钝角，所以所以

． …（6分）

（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD=CB+DC﹣2CB?DC?cos∠BCD， 即

，

222

整理得BD=2．

222

在△ABC中，由余弦定理可知BC=AB+AC﹣2AB?AC?cosA， 即整理得

．解得

， ．

．

．…．（13分）

因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以所以△ABC的面积

点评： 本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．

17．某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族 的人数 占本组 的频率 1 [25，30） 120 0.6 2 [30，35） 195 P 3 [35，40） 100 0.5 4 [40，45） a 0.4 5 [45，50） 30 0.3 6 [50，55） 15 0.3

（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；

（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

握不等式恒成立15所取的条件．理解等价转化思想22用．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 专题： 计算题．

分析： （I）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为

，在有频率分布直方图会全图形即可；

（II）由题意及（I）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，并且由题意分出随机变量X服从超几何分布，利用分布列定义可以求出分布列，并利用分布列求出期望． 解答： 解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为频率直方图如下：

．

第一组的人数为

，频率为0.04×5=0.2，所以

．

．

由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以

第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．

（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．

握不等式恒成立16所取的条件．理解等价转化思想22用．

随机变量X服从超几何分布．，，

，

所以随机变量X的分布列为 X 0 P

∴数学期望

．

1

2 ．

3

点评： 此题考查了频率分布直方图及其性质，还考查了统计中的分层抽样及离散型随机变量的定义及分布列，并考查了应用其分布列求其期望，重在考查学生的理解及计算能力．

18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点． （Ⅰ） 求证：A1O∥平面AB1C；

（Ⅱ） 求直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值．

，底面ABCD

考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C，满足定理所需条件；

（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面AC1D1的法向量，利用向量夹角公式即可求出直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，则四边形ABCO为正方形， 所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，

故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，

又A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．…（5分） （Ⅱ）解：因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD， 又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，交线为AD， 故D1O⊥底面ABCD．…（6分）

握不等式恒成立17所取的条件．理解等价转化思想22用．

以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则D1（0，0，1），A（0，﹣1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A1（0，﹣2，1），B（1，﹣1，0），

，…（7分）

，

，

设平面AC1D1的法向量为

，则，即，

解得，令y=1，得，…（10分）

设直线CC1与平面AC1D1所成角为θ，则

…（13分）

所以直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值为

．…（14分）

点评： 本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．

19．已知抛物线C：y=ax（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为，

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x﹣2上，且，现过A作C的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB，求A点的横坐标t的值．

2

考点： 直线与圆锥曲线的关系．

握不等式恒成立18所取的条件．理解等价转化思想22用．

专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点P（b，1）到焦点的距离转化为到准线的距离，由此可求a的值；

（Ⅱ）设出M和N的坐标，利用导数求出过M和N的切线方程，由t表示出A，B的坐标，把A，B代入切线方程后求出M和N的坐标，由两点式写出MN所在直线的斜率，由斜率等于1即可求出t的值．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线C：y=ax即∵点P（b，1）到焦点的距离为，∴（Ⅱ）设

∴切线AM的方程为：同理可得切线BN的方程为：

， ，即

，

2

，准线方程为：，

2

，∴a=1，∴抛物线C的方程为y=x； ，∵y=x，∴y'=2x，∴kAM=2x1，

，即

，

2

由于动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x﹣2上，且故可设A（t，t﹣2），B（t+1，t﹣1）， 将A（t，t﹣2）代入切线AM的方程，得

∴同理可得

，

，

∵∴∴

，当MN∥AB时，kMN=1，得x1+x2=1，

，

，

∴

得t=0或（舍去），∴t=0．

点评： 本题考查了抛物线的方程，运用了数学转化思想方法．考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了二次方程根的求法，解答此题的关键是用A点的坐标表示出B点的坐标，属难题．

20．已知数列{an}满足a1=，an=2﹣

（n≥2），Sn是数列{bn}的前n项和，且有

=1+

bn．

握不等式恒成立19所取的条件．理解等价转化思想22用．

（1）证明：数列{}为等差数列；

（2）求数列{bn}的通项公式； （3）设cn=

，记数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜1．

考点： 数列与不等式的综合．

专题： 计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式． 分析： （1）化简an=2﹣

，化出

的形式，（2）由an=sn﹣sn﹣1化简，得到递推公式，

再推通项公式；（3）利用裂项求和法求和证明不等式成立． 解答： 解：（1）证明：∵

，

∴，

∴，

即：∴．

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列．

（2）当n≥2时，，

，

即：；

∴，

当n=1时，b1=S1=2，∴（3）证明：由（1）知：

．

握不等式恒成立20所取的条件．理解等价转化思想22用．

∴，

∴∴

，

．

点评： 本题全面考查了数列的相关知识，有等差数列的证明，也用到了通项与前n项之间的普遍关系，同时考查了裂项求和的方法，属于难题．

21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x﹣bx+1（b为常数）．

（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值； （2）若b=0，h（x）=f（x）﹣g（x），?x1、x2[1，2]使得h（x1）﹣h（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）利用导数求出函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程，再有直线与曲线的相切关系，联立方程组求出b的值；

（2）根据题意求满足条件的最大整数M，转化为求h（x）的最值解决，即只要使得M≤h（x）max﹣h（x）min即可；

（3）先利用导数法判断f（x）与g（x）的增减性，把|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价转化为f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），等价于f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）成立，再构造函数φ（x）=f（x）+g（x），即等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+

﹣bx+1 在区间[1，2]上

2

是增函数，利用导数与函数单调性的关系，结合不等式恒成立的条件，求得b的取值范围． 解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，f′（1）=1，

∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∵直线y=x﹣1与函数g（x）的图象相切，由

2

消去y得x﹣2（b+1）x+4=0，

2

则△=4（b+1）﹣16=0，解得b=1或﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）当b=0时，∵h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣

﹣1 （x∈[1，2]），

握不等式恒成立21所取的条件．理解等价转化思想22用．

∴h′（x）=﹣x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） 当x∈（1，2]时，h′（x）＜0，∴在[1，2]上单调递减，

h（x）max=h（1）=﹣，h（x）min=h（2）=ln2﹣3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 则[h（x1）﹣h（x2）]max=h（x）max﹣h（x）min=∴M≤

，

＜1，故满足条件的最大整数是M=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

（3）不妨设x1＞x2，∵函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，∴f（x1）＞f（x2）， ∵函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b≥2，∴函数g（x）在区间[1，2]上是减函数， ∴g（x1）＜g（x2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

∴|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|等价于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1）， 即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+

﹣bx+1 在区间[1，2]上是增函数，

等价于φ′（x）=+x+b≥0在区间[1，2]上恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

等价于b≤x+在区间[1，2]上恒成立，

∴b≤2，又b≥2，∴b=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

点评： 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的

握不等式恒成立22所取的条件．理解等价转化思想22用．

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