广东省2012届高三全真模拟卷数学理9.

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科9

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 已知集合A??xx2?2x?0?，B??x?1?x?1?, 则A?B?

A．?x0?x?1? B．?x?1?x?0? C．?x?1?x?1? D．?x?1?x?2? 2. 若复数(1?i)(a?i是实数i是虚数单位，则实数a的值为

A．?2 B．?1 C． D．2 3. 已知向量p??2,?3?,q??x,6?,且p//q，则p?q的值为

A．5 B．13 C．5 D．13 4. 函数y?xlnx在区间?1,???上

A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入n?5, 则输出k的值为. A．2 B．3 C．4 D．5

26. “a?b” 是“?a?b????ab”成立的

?2? A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校

第1页

至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A．96 B．114

C．128 D．136 图1 8. 如图2所示,已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2, 长 为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动, 另一端点N 在正方形ABCD内运动, 则MN的中点的轨迹的面积为 A．4? B．2? C．? D．

?2D1A1B1C1M

DNBAC 图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 频率（一）必做题（9～13题）

9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间?110,120?上共有150户, 则月均用电

组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005 量在区间?120,150?上的居民共有 户.

20100110120130140150月均用电量(度)图310. 以抛物线C:y?8x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .

11. 已知数列?an?是等差数列, 若a4?2a6?a8?12, 则该数列前11项的和为 .

12. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c?3,C??3,

第2页

a?2b,

则b的值为 .

?2x?y?5,?13. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件?x?y?2,

?x?6.? 则该校招聘的教师最多是 名.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14. (几何证明选讲选做题) 如图4, CD是圆O的切线, 切点为C, BCD 点A、B在圆O上，BC?1,?BCD?30，则圆O的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点?1,0?且与 极轴垂直的直线交曲线??4cos?于A、B两点，则AB? . A?O 图4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）

已知函数f?x??2sinxcosx?cos2x(x?R). (1) 当x取什么值时,函数f?x?取得最大值,并求其最大值;

??(2) 若?为锐角，且f???

17.（本小题满分12分）

??2，求tan?的值. ??8?3 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润

第3页

（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.

若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.

等级 一等品 二等品 三等品 次品 利润 6 5 4 ?1 等级 一等品 二等品 三等品 次品 P 0.6

a 0.1 b

表1 表2 (1) 求a,b的值；

(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.

18.（本小题满分14分）

如图5，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC,AB?BC,D为AC的中点, A1A?AB?2.

(1) 求证：AB1//平面BC1D；

(2) 若四棱锥B?AA1C1D的体积为3, 求二面角C?BC1?D的正切值.

C1CB1DA1AB第4页

图5

19.（本小题满分14分）

已知直线y??2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足 OP?OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C. (1) 求曲线C的方程；

(2) 若直线l2是曲线C的一条切线, 当点?0,2?到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.

20.（本小题满分14分）

已知函数f?x??ax?bx?c?a?0?满足f?0??0,对于任意x?R都有f?x??x,且 f????1??1??x??f???x?,令g?x??f2??2?2?x???x?1???0?.

(1) 求函数f?x?的表达式； (2) 求函数g?x?的单调区间；

(3) 研究函数g?x?在区间?0,1?上的零点个数.

21.（本小题满分14分）

已知函数y?f?x?的定义域为R, 且对于任意x1,x2?R,存在正实数L,使得 f?x1??f?x2??Lx1?x2都成立. (1) 若f?x??1?x,求L的取值范围；

(2) 当0?L?1时，数列?an?满足an?1?f?an?，n?1,2,?.

2第5页

n① 证明：?ak?ak?1?k?111?La1?a2；

② 令Ak?

a1?a2??akkn?k?1,2,3,??，证明：?Ak?Ak?1?k?111?La1?a2.

参考答案

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.

题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D 第6页

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题

5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ?x?1???y?22??9 11. 33 12. 3 13.

2210

14. ? 15. 23

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

(1) 解: f?x??2sinxcosx?cos2x

?sin2x?cos2x ?? 1分

?分

?分

∴当2x?2.

?2?22?sin2x?cos2x? ?? 2?2?2?????2sin?2x??. ?? 3

4???4?2k???2,即x?k???8(k?Z时,函数f?x?取得最大值,其值为

?? 5分

(2)解法1:∵f???????2, ∴??8?3??2?. ?? 62sin?2????2?3?分

∴cos2??7分

13. ??

第7页

∵?为锐角，即0????2, ∴0?2???.

223 ∴sin2??1?cos22??8分

∴tan2??. ??

sin2??22. ??

cos2?9分 ∴2tan?1?tan2??22. 10分

∴2tan2??tan??2?0. ∴?2tan??1??tan??2??0. ∴tan??22 或tan???2(不合题意,舍去) 11分

∴tan??22. 12分

解法2: ∵f???????2, ∴2sin???2?8??2??. ?3???2?3 ∴cos2??13. 分

∴2cos2??1?13. 分

∵?为锐角，即0????2,

∴cos??63. ??

??

??

?? 7

?? 8

?? 9

第8页

分

∴sin??1?cos2??3. ?? 10

3分

∴tan??sin??2cos?2. 分

解法3:∵f???????2, ∴2sin????2?8??3?2???2?. ?3 ∴cos2??13. 分

∵?为锐角，即0????2, ∴0?2???.

∴sin2??1?cos22??223. 分

∴tan??sin?cos? 分

?2sin?cos?2cos2? 分

?sin2?

1?cos2? ?22. 分

17．（本小题满分12分）

（1）解：设1件产品的利润为随机变量?，依题意得?的分布列为：?? 12

?? 7

?? 8

?? 9

?? 10

?? 12

第9页

? 6 5 4 ?1 P 0.6 a 0.1 b

?? 2分

∴ E??6?0.6?5a?4?0.1?b?4.9,即5a?b?0.9. ?? 3分

∵ 0.6?a?0.2?0.1?b?1, 即a?b?0.3, ?? 4分

解得a?0.2,b?0.1.

∴a?0.2,b?0.1 . ?? 6分

(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都

是一等品或2件一等品，1件二等品. ?? 8分

22 故所求的概率P?0.63?C3?0.6?0.2?0.432. ??

12分

18. （本小题满分14分）

（1）证明: 连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD, ∵ 四边形BCC1B1是平行四边形,

∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点， ∴OD为△AB1C的中位线,

DA1AEB1BGO第10页

FC1C

∴ OD//AB1. ?? 2分 ∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D, ∴AB1//平面BC1D. ?? 4分 (2)解: 依题意知，AB?BB1?2，

∵AA1?平面ABC,AA1?平面AA1C1C,

∴ 平面ABC?平面AA1C1C，且平面ABC?平面AA1C1C?AC.

作BE?AC，垂足为E，则BE?平面AA1C1C， ??6分 设BC?a，

在Rt△ABC中，AC?AB?BC22?4?a，BE?2AB?BCAC?2a4?a2，

∴四棱锥B?AA1C1D的体积V? ?13?12?A1C1?AD??AA1?BE

4?a?2?216?322a4?a2?a. ?? 8分

依题意得，a?3，即BC?3. ?? 9分 (以下求二面角C?BC1?D的正切值提供两种解法)

解法1:∵AB?BC,AB?BB1,BC?BB1?B,BC?平面BB1C1C，BB1?平面

BB1C1C，

∴AB?平面BB1C1C.

取BC的中点F，连接DF，则DF//AB,且DF?∴DF?平面BB1C1C.

作FG?BC1，垂足为G，连接DG， 由于DF?BC1，且DF?FG?F，

12AB?1.

第11页

∴BC1?平面DFG. ∵DG?平面DFG, ∴BC1?DG.

∴?DGF为二面角C?BC1?D的平面角. ?? 12分 由Rt△BGF～Rt△BCC1,得

GFCC1?BFBC1,

3得GF?BF?CC1BC1?2?2?1331313, 在Rt△DFG中, tan?DGF?DFGF?133. ∴二面角C?BC1?D的正切值为133. ?? 14分

解法2: ∵AB?BC,AB?BB1,BC?BB1?B,BC?平面BB1C1C，BB1?平面

BB1C1C，

∴AB?平面BB1C1C.

以点B1为坐标原点,分别以B1C1,B1B,B1A1所在直线为x轴, y轴和z轴,建立空间直角坐标系B1?xyz. 则B?0,2,0?,C1?3,0,0?,A?0,2,2?,D???????????3? ∴BC1??3,?2,0?,BD??,0,1?

?2??3?,2,1?. ?2?B1A1zADBy 设平面BC1D的法向量为n??x,y,z?,

C1xOC第12页

?3x?2y?0,?????????? 由nBC1?0及nBD?0,得?3

?x?z?0.?2 令x?2,得y?3,z??3.

故平面BC1D的一个法向量为n??2,3,?3?, ?? 11分

???? 又平面BC1C的一个法向量为AB??0,0,?2?,

∴????????cos?n,AB??n?2?0?0?3????AB??2??????3??3. nAB2?2222???2 ∴?sin?n,AB??1??3???13. ?22??22 ∴????tan?n,AB??13.

3 ∴二面角C?BC131?D的正切值为. 319．（本小题满分14分）

(1) 解:设点P的坐标为?x,y?,则点Q的坐标为?x,?2?. ∵OP?OQ,

∴kOP?kOQ??1.

当x?0时,得y?22x?x??1,化简得x?2y. 当x?0时, P、O、Q三点共线，不符合题意，故x?0.

∴曲线C的方程为x2?2y?x?0?. (2) 解法1:∵ 直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.

设直线l2的方程为y?kx?b, ?? 12分

?? 13分

?? 14分

?? 2分

?? 4分 ?? 5分

第13页

由??y?kx?b,?x?2y,2 得x2?2kx?2b?0.

∵ 直线l2与曲线C相切,

k2 ∴??4k?8b?0,即b??2. ?? 6分

2的距离d??2?b?1?k2点?0,2?到直线l?42k2?12 k2?11?3? ??22?k?1?? ?k2?1?? ?1?2k2?1?32 k2?1 ?3. 当且仅当k2?1?3，即k??2时，等号成立.此时b??1. k2?1∴直线l2的方程为2x?y?1?0或2x?y?1?0. 解法2：由x2?2y，得y'?x， ∵直线l2与曲线C相切, 设切点M的坐标为?x121,y1?，其中y1?2x1，则直线l2的方程为：y?y1?x1?x?x1?，化简得x121x?y?2x1?0. ?2?1x22点?0,2?到直线l212的距离d??1?x1?4 x22x21?11?11? ??23?2?x1?1?? ?x21?1?? ?1?2x2?321?1 x21?1 7分

?? 8分 ?? 9分

10分

??12分

?? 14分 ?? 5分 ?? 6分

?? 7分

?? 8分 ?? 9分

第14页????

?当且仅当x1?1?23. ?? 10分

3x1?12，即x1??2时，等号成立. ??12分

∴直线l2的方程为2x?y?1?0或2x?y?1?0. ?? 14分 解法3：由x?2y，得y?x， ?? 5分 ∵直线l2与曲线C相切, 设切点M的坐标为?x1,y1?，其中y1?12x1?0，

22'则直线l2的方程为：y?y1?x1?x?x1?，化简得x1x?y?y1?0. ?? 6分 点?0,2?到直线l2的距离d??2?y1x1?11? ??2??2?y1?22y1?1 ?? 7分

2y1?1??? ?? 8分

2y1?1??3 ?12?22y1?1?32y1?1 ?? 9分

?分

当且仅当2y1?1?33. ?? 10

，即y1?1时，等号成立,此时x1??2. ??12分

2y1?1∴直线l2的方程为2x?y?1?0或2x?y?1?0. ?? 14分

20．（本小题满分14分）

(1) 解：∵f?0??0，∴c?0. ?? 1分

∵对于任意x?R都有f????1??1??x??f???x?, 2??2?第15页

∴函数f?x?的对称轴为x??212，即?b2a??12，得a?b. ?? 2分

又f?x??x，即ax??b?1?x?0对于任意x?R都成立， ∴a?0,且???b?1??0． ∵?b?1??0， ∴b?1,a?1．

∴f?x??x?x． ?? 4分

?2x??1???x?1,?? (2) 解：g?x??f?x???x?1???x2??1???x?1,??1222x??1, ?? 5分

.x??① 当x???121?1时，函数g?x??x??1???x?1的对称轴为x?，即0???2，函数g?x?在??12??12，

若

??1?,???上单调递增； ?? 6分 ?????1??1?,???上单调递增，在?,?上单

2????若

??12??，即??2，函数g?x?在?????12调递减．

?? 7分

② 当x?1?时，函数g?x??x??1???x?1的对称轴为x????21??2?1?，

则函数g?x?在??分

1??1?1????,?上单调递增，在???,??上单调递减． ?? 82??2??综上所述，当0???2时，函数g?x?单调递增区间为????1??2?,???，单调递减区间

?为

1??????,???； ?? 9

2??第16页

分

当??2时，函数g?x?单调递增区间为????1??1????1?,?和?,???，单调递减区间2???2?为

1?????1??1?和??,????,?． ?? 102?2????分

(3)解：① 当0???2时，由(2)知函数g?x?在区间?0,1?上单调递增， 又g?0???1?0,g?1??2???1?0，

故函数g?x?在区间?0,1?上只有一个零点． ?? 11分

② 当??2时，则

1?111?1??1，而g?0???1?0,g???2??0， 2?????? g?1??2???1， （ⅰ）若2???3，由于

???1??2???1?221????12?1，

且g?????????1????2???1?1?????1?42?1?0，

此时，函数g?x?在区间?0,1?上只有一个零点； ?? 12分

（ⅱ）若??3，由于

??12?1且g?1??2???1?0，此时，函数g?x?在区间

?0,1?

上有两个不同的零点． ?? 13分

综上所述，当0???3时，函数g?x?在区间?0,1?上只有一个零点；

第17页

当??3时，函数g?x?在区间?0,1?上有两个不同的零点． ?? 14分

21．（本小题满分14分） (1) 证明：对任意x1,x2?R，有 f?x1??f?x2?? ?1?x1?221?x2 22x1?x21?x1?2 21?x2 ?2分

x1?x2?x1?x21?x1?2. ??

21?x2 由f?x1??f?x2??Lx1?x2,即x1?x21?x1?222x1?x2?x1?x21?x1?21?x22?Lx1?x2.

当x1?x2时,得L?.

21?x2 ?1?x1?x1,1?x2?x2,且x1?x2?x1?x2， ∴x1?x21?x1?2?2x1?x2x1?x2?1. ??

1?x24分

∴要使f?x1??f?x2??Lx1?x2对任意x1,x2?R都成立,只要L?1. 当x1?x2时, f?x1??f?x2??Lx1?x2恒成立.

∴L的取值范围是?1,???. ?? 5分

(2) 证明：①∵an?1?f?an?，n?1,2,?,

故当n?2时，an?an?1?f?an?1??f?an??Lan?1?an

第18页

?Lf?an?2??f?an?1??L2an?2?an?1???Ln?1a1?a2. ?? 6分

n∴?ak?ak?1?a1?a2?a2?a3?a3?a4???an?an?1

k?1 ??1?L?L2???Ln?1?a1?a2 ?? 7分

?8分

∵0?L?1,

n1?Ln1?La1?a2. ??

∴?ak?ak?1?k?111?La1?a2当n?1时,不等式也成立. ?? 9分

②∵Ak?a1?a2??akk,

a1?a2???ak?1k?1 ∴Ak?Ak?1?a1?a2???akk?

?1k?k?1??a1?a2???ak?kak?1?

?1k?k?1?1k?k?1??a1?a2??2?a2?a3??3?a3?a4????k?ak?ak?1?

??a1?a2?2a2?a3?3a3?a4???kak?ak?1?.

?

?11分

n∴?Ak?Ak?1?A1?A2?A2?A3???An?An?1

k?1第19页

?1?11?a1?a2??????2a2?a3??1?22?3?n?n?1????1?11???????2?33?4?nn?1?????1?111 ?3a3?a4????????nan?an?1???3?44?5?nn?1nn?1?????? ?a1?a2?1???2????a?a1?23??????an?an?1n?1?n?1??1n??1???

n?1?? ?a1?a2?a2?a3???an?an?1 ?11?La1?a2. ??

14分

第20页

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