第15讲 列方程解应用题（1）
一、夯实基础
列方程解应用题的一般步骤是： （1）弄清题意，找出未知数，并用x表示； （2）找出应用题中数量间的相等关系，列方程； （3）解方程； （4）检验，写出答案。
二、典型例题
例1．父亲今年50岁，儿子今年14岁，问几年前父亲的年龄是儿子的5倍？ 分析：根据―几年前父亲的年龄=几年前儿子年龄的5倍‖，可建立等量关系。 解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍。
50－x=5（14－x）
x=5
答：5年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍。
例2．涛涛家4口人的年龄之和147岁，妈妈比涛涛大27岁，爷爷的年龄是妈妈和涛涛年龄之和的2倍，且比爸爸大38岁。问：涛涛家四口人的年龄各是多少？ 分析：由一家四口人的年龄之和为147岁知等量关系为：―涛涛岁数＋妈妈岁数＋爸爸岁数＋爷爷岁数=全家年龄和‖。另外，经分析，设涛涛的年龄为x，则此题化难为宜。
解：设涛涛年龄为x岁，则妈妈是（x+27）岁，爷爷是[(x+x+27)×2]岁，爸爸是[(x+x+27)×2－38]岁。
x＋（x+27）＋[(x+x+27)×2－38]＋[(x+x+27)×2]=14
解得：x=5
妈妈年龄：x+27=5＋27=32(岁)
爸爸年龄：x+x+27)×2－38=（5＋5＋27）×2－38=36（岁） 爷爷年龄：(x+x+27)×2=（5＋5＋27）×2=74(岁) 答：涛涛5岁，妈妈32岁，爸爸36岁，爷爷74岁。
例3．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？
分析：这题是数字问题，根据―新数比原数小108‖可以列出等量关系式：―原数＝新数＋108‖，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x，则原三位数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5×100＋x）
43
解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x。 10x＋5＝5×100＋x＋108 10x－x＝500＋108－5 9x＝603 x＝67 10×67＋5＝675 答：原三位数是675。
三、熟能生巧
1．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？
2．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和。这条大鲨鱼全长多少米？
3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？
四、拓展演练
1．学校里白色粉笔的盒数是彩粉笔的4倍，如果再增加白粉笔130盒，再增加彩粉笔50盒，则白粉笔是彩粉笔的3倍。求白粉笔和彩粉笔原来各有多少盒？
44
2．78只鸡在田里捉青虫吃,共吃掉138条青虫，已知每只公鸡吃4条青虫，每只母鸡吃3条青虫，两只小鸡吃一条，母鸡比公鸡多18只，问这群鸡中公鸡，母鸡，小鸡各有多少只？
3．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍。求原来的六位数。
五、星级挑战
?1．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？
??2．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球。如果经过若干次后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个？
45
第16讲 列方程解应用题（2）
一、夯实基础
列方程的实质是把题中的―生活语言‖化为―代数语言‖，即把文字等量关系式用已知数与未知数代入即得方程。
列方程解应用题的两个关键点：
（1）用x表示未知量。（2）建立等量关系
二、典型例题
例1．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有了多少个？ 分析：我们可以根据―两种零件合格的一共42个‖建立等式，可列出方程。 解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个。 （x+ 12）× +x= 42 4合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产545948x+= 42 55x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。 例2．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球个数是红球的的4，蓝球个数是红球523，黄球个数的比蓝球少2个。袋中共有多少个球？ 34分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球进行比较，所以设红球个数
为x比较简单。再根据―黄球个数的
3比蓝球少2个‖建立等式，可列出方程。 442x，蓝球个数为x。 53解：设红球个数为x，则黄球个数为
234x－×x=2 345x=30
46
x＋
42x＋x=30＋24＋20=74（个） 532，第二次放出30立方米水，第三次又放5答：袋中共有74个球。
例3．有一个水池，第一次放出全部水的出剩下水的2，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方米？ 52x，第二次放522出水是30立方米，第三次放出的水是剩下的水（x－x－30）的，所以有这样55分析：如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为的等量关系：―第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量‖。 解：设全池蓄水量为x立方米。 222x+ 30 +（x- x- 30）× + 54 =x 55526x－x－x= 72 525x=200 答：全池蓄水为200立方米。 三、熟能生巧 1．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？
2．六年级有学生300人，从六年级男生中选出
2，乙取出12元后，两人531，女生中选出参加校运动会，42
这样全年级还剩下91人参加布置会场工作。六年级有男、女生各多少人？，
3．长江文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的文具店共运来多少支笔？
31和钢笔的相等，长江7247
前言
21世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作为基础教育的核心课程，数学学习与孩子的思维发展密切相关。
为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。
具体来说本教材有以下几个方面的亮点：
1．内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各个击破，提高效率，针对性和指导性更强。
2．循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐进地进行学习。
3．专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的学习目的。
4．选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。
今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。
1
目录
一、数的认识
第1讲 数的认识 .............................................................................................................. 1 第2讲 数的整除 .............................................................................................................. 5
二、数的运算
第3讲 简便运算（1） .................................................................................................... 8 第4讲 简便运算（2） .................................................................................................. 10 第5讲 简便运算（3） .................................................................................................. 14 第6讲 简易方程 ............................................................................................................ 10 第7讲 定义新运算 ........................................................................................................ 19
三、空间与图形
第8讲 巧求面积（1） .................................................................................................. 22 第9讲 巧求面积（2） .................................................................................................. 25 第10讲 长方体的表面积和体积 .................................................................................. 28 第11讲 圆柱体的表面积 .............................................................................................. 31 第12讲 圆柱和圆锥的体积 .......................................................................................... 34
四、解决问题
第13讲 画图法解应用题 .............................................................................................. 37 第14讲 假设法解应用题 .............................................................................................. 40 第15讲 列方程解应用题（1） .................................................................................... 43 第16讲 列方程解应用题（2） .................................................................................... 46 第17讲 行程问题之多次相遇 ...................................................................................... 49 第18讲 行程问题之环形赛道 ...................................................................................... 52 第19讲 行程问题之巧用比例 ...................................................................................... 54
2
第20讲 图示法解分数应用题 ...................................................................................... 57 第21讲 还原法解分数应用题 ...................................................................................... 61 第22讲 转化法解分数应用题 ...................................................................................... 64 第23讲 抓住不变量解分数应用题 .............................................................................. 67 第24讲 巧用比解分数应用题 ...................................................................................... 70 第25讲 对应法解分数应用题 ...................................................................................... 73 第26讲 假设法解分数应用题 ...................................................................................... 76 第27讲 百分数应用题—溶剂问题 .............................................................................. 79 第28讲 工程问题（1） ................................................................................................ 82 第29讲 工程问题（2） ................................................................................................ 85 第30讲 按比例分配 ...................................................................................................... 87 第31讲 比例的应用（1） ............................................................................................ 90 第32讲 比例的应用（2） ............................................................................................ 93 第33讲 牛吃草问题 ...................................................................................................... 96 第34讲 时钟问题 .......................................................................................................... 99 第35讲 容斥原理 .........................................................................................................102 第36讲 抽屉原理 .........................................................................................................105
五、实战模拟
小升初选校模拟试卷（一） .........................................................................................107 小升初选校模拟试卷（二） ......................................................................................... 110 小升初选校模拟试卷（三） ......................................................................................... 113 小升初选校模拟试卷（四） ......................................................... 错误！未定义书签。8
3
第1讲 数的认识
一、夯实基础
1．数的意义 （1）自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3??叫做自然数。 （2）小数
把整数“1”平均分成10份、100份、1000份??这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几??可以用小数表示。 （3）分数
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 （4）百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。 2．数的大小比较 （1）整数的大小比较
比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。 （2）小数的大小比较
比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数比较大；如果整数部分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比较大?? （3）分数的大小比较
整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。例如：＜
1351，2＞2。
44662244整数部分相同的同分子分数，分母小的分数比较大。例如：＞，3＞3。
3557分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数再
进行比较。
3．小数、分数、百分数的互化
（1）小数化成分数。原来是几位小数，就在1后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。
（2）分数化成小数。分母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意
1
自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有除了2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
（3）小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 （4）百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （5）分数化成百分数。通常把分数化成小数后（遇到除不尽时常要保留三位小数），再化成百分数。
（6）百分数化成分数。先把百分数改成分母是100的分数，再约分成最简分数。
二、典型例题
例1．比较下列各组分数的大小 （1）
3234和 （2）和
598271分析：进行分数的大小比较时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选择比较方法，比较的方法越简单越好。
32和这两个分数的分母比较大，分子比较小，可变为同分子比较。 827134111 （2）和这两个分数一个大于，一个小于，可用为标准进行比较。
5922233?2622?36 解（1）：==，==，
8282?21647171?32136632 ＞，得出＞。
1642138271314134 解（2）：＞，＜，得出＞。
529259（1）
例2．某数增加它的20%后，再减少20%，结果比原数减少了（ ）。
A. 4% B. 5% C. 10% D. 20%
分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。
解：设某数为100
则100×（1+20%）=120， 120×（1－20%）=96， （100－96）÷100=4%。 故应选A。
2
梨树：45+7=52（棵）， 苹果树：45+4=49（棵）。
答：桃树有45棵，梨树有52棵，苹果树有49棵。
例3．某公司三个厂区共有员工1900人，甲厂区的人数是乙厂区的2倍，乙厂区比丙厂区少300人，三个厂区各有多少人？
分析：先用线段图表示出三厂区人数之间的关系：
从图上可以看出，假设丙厂人数减少300人，总人数也减少300人，为1900－300=1600（人），此时总人数恰好是乙厂的4倍。
解：乙厂：（1900－300）÷4=400（人），
甲厂：400×2=800（人）， 丙厂：400+300=700（人）。
答：甲厂有800人，乙厂有400人，丙厂有700人。
三、熟能生巧
1．一个两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？
2．张明用272元买了一件上衣，一顶帽子和一双鞋子。上衣比鞋贵60元，鞋比帽子贵70元。求上衣、鞋子和帽子各多少钱？
3．三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？
38
四、拓展演练
1．姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？
2．城东小学共有篮球、足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数是篮球只数的2倍。篮球、足球、排球各是多少只？
3．甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的汽车是24辆。经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍？
五、星级挑战
?1．有货物164吨，分放在甲、乙、丙、丁四个仓库里，乙仓存放吨数是甲仓存放吨数的3倍，甲仓比丙仓少5吨，比丁仓多3吨，甲、乙、丙、丁四个仓库各放多少吨？
??2．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？
39
第14讲 假设法解应用题
一、夯实基础
所谓―假设法‖就是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，做适当调整，从而找到正确答案。
我国古代趣题―鸡兔同笼‖就是运用假设法解题的一个范例，其基本关系式是： 方法1:设鸡求兔
（总足数－2×总头数）÷（4－2）=兔头数 总头数－兔头数=鸡头数 方法2:设兔求鸡
（4×总头数－总足数）÷（4－2）=鸡头数 总头数－鸡头数=兔头数
二、典型例题
例1．学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元，篮球、排球的单价各多少元？
分析：假设买的是9个排球，可以少花8×4=32（元），即如果买9个排球会花185－32=153（元），当然，也可以假设买的是9个蓝球。会多花8×5=40（元），即如果买9个篮球会花185＋40=225（元）
解（一）：假设买回的是9个排球
排球的单价：（185－8×4）÷9=17（元） 篮球的单价：17＋8=25（元） 解（二）：假设买回的是9个篮球
蓝球的单价：（185＋8×5）÷9=25（元） 排球的单价：25－8=17（元）
答：排球的单价是17元，篮球的单价是25元。
例2．一只松鼠采松子，睛天每天采24个，雨天每天采16个，它一连8天共采168个松子，问这8天当中有几天睛天？
分析：假设这8天全是睛天，应采24×8=192（个），比实际采到的多192－168=24（个），怎么会多24个呢？因为这8天中有雨天，每个睛天比每个雨天多采24－16=8（个），24里面有3个8，所以有3个雨天，5个睛天。亦可以假设全是雨天，求出睛天的天数。
解（一）：假设这8天全是睛天
雨天：（24×8－168）÷（24－16）=3（天） 睛天： 8－3=5（天）
40
解（二）：假设这8天全是雨天
睛天：（168－16×8）÷（24－16）=5（天） 答：这几天中有5天睛天。
例3．鸡兔同笼，数头共10只，数脚共24只，鸡、兔各有多少只？
分析：假设这10只全是鸡，应有脚2×10=20（只），比实际的脚数少24－20=4（只），怎么会少4只脚呢？因为这10只动物中有兔子，每只鸡的脚比每只兔子少4－2=2（只），4里面有2个2，所以有2只兔子，8只鸡。亦可以假设全是兔子，求出鸡的数量。
解（一）：假设这10只全是鸡
兔：（24－2×10）÷（4－2）=2（只） 鸡： 10－2=8（只） 解（二）：假设这10只全是兔
鸡：（4×10－24）÷（4－2）=8（只） 兔： 10－8=2（只） 答：鸡有8只，兔有2只。
三、熟能生巧
1．商场运进200双童鞋，分别装在3只木箱和4只纸箱里，刚好全部装满。如果2只纸箱装的童鞋与1只木箱装的同样多，那么每只纸箱和木箱各装童鞋多少双？
2．六年级师生参观科技展览馆，买儿童票52张，成人票7张，共花了330元。成人票是儿童票的2倍。两种票价各是多少元？
3．鸡兔同笼，共有27个头，72只脚，问：笼中鸡、兔各有多少只？
4．学校组织学生和教师共460人春游，刚好共租了10辆客车，已知大客车每辆坐50人，小客车每辆坐30人，大、小客车各租了几辆？
41
四、拓展演练
1．玲玲的储蓄盒里有二分、五分硬币共65枚，共值2.86元，那么二分、五分的硬币各有多少枚呢？
2．李华参加射击比赛，共打20发，规定每中一发记10分，脱靶一发则倒扣6分，结果得了168分，他一共打中了多少发？
3．一名搬运工人从批发部搬运500只瓷砖到商店，货主规定：运到一只完好的瓷砖得运费3角，打破一只赔9角，结果他领到运费136.80元。问在运输中，搬运工打破了多少只瓷砖？
五、星级挑战
?1．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？
??2．蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。问：每种小虫各几只？
42
??2．求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）
第10讲 长方体的表面积和体积
一、夯实基础
长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。
长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6
物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。
长方体体积=长×宽×高 正方体体积=棱长×棱长×棱长
二、典型例题
例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。
分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是24－3×2=18（厘米），高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上3×2=6（厘米）才是原铁皮的宽。
解：长方体铁盒的长：24－3×2=18（厘米） 长方体铁盒的宽：486÷3÷18=9（厘米） 长方形铁皮的宽：9＋3×2=15（厘米）
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长方形铁皮的面积：24×15=360（平方厘米） 答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。
例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。 解：长＋宽＝（515－5）÷2＝255（cm）
长＋高＝（445－5）÷2＝220（cm）
宽＋高＝（235－5）÷2＝115（cm） 长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷2＝295（cm） 长：295－115＝180（cm） 宽：295－220＝75（cm） 高：295－255＝40（cm） 礼盒体积：180×75×40=540000（cm3）=540（dm3） 答：这个礼盒的体积是540立方分米。
例3．如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）
分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相应的变化了。
解：设容器侧放后水深是x厘米
15×8×3＝15×4×x
x＝6
答：如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是6厘米。
三、熟能生巧
1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。
29
2．一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？
3．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
四、拓展演练
1．如图所示是一个棱长12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。“十”字最短边长都是2厘米，求它的表面积和体积？
2．如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地)。这个水泥池的体积是多少？ .
3．图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？
五、星级挑战
?1．一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面高多少厘米？
30
??2．有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？
第11讲 圆柱体的表面积
一、夯实基础
圆柱体是常见的立体图形。它的表面是由一个侧面（展开是长方形）和两个相同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，即 S表=S侧＋2S底，S表=2πrh+2πr2
二、典型例题
例1．把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块，表面积增加了320平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？
分析：按这种方法，截面是相同的两个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。
解：长方形面积是320÷2=160（平方分米）；
底面直径：160÷20=8（分米）；
侧面积：3.14×8×20=502.4（平方分米）； 底面积：3.14×（8÷2）2=50.24（平方分米）； 表面积：502.4＋50.24=552.64（平方分米）
答：原来这段圆柱形圆木的表面积是552.64平方分米。
例2．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
分析：解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。
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解：3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5 ＝3.14×（18＋60＋20） ＝3.14×98
＝307.72（平方厘米）．
答：涂油漆面积是307.72平方厘米。
例3．在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的表面积是多少？
分析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积。
解：4×4×6＋2π×1×6=133.68（平方厘米）
答：打孔后它的表面积是133.68平方厘米。
三、熟能生巧
1．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？
2．一个圆柱体的零件，高20厘米，底面直径是14厘米，零件的上面有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是8厘米，孔深12厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
3．有一个长方体木块，高20厘米，底面是个长方形，长30厘米，宽15厘米，上面有一个底面直径和高都是10厘米的圆柱形的孔，它的表面积是多少平方厘米？
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四、拓展演练
1．将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体组成一个物体，求它的表面积。
2．右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。
3．右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？
五、星级挑战
?1．一根圆柱形钢材，如图沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体。已知一个剖面的面积是960平方厘米，求原来钢材的侧面积。
??2．有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成圆柱体，求这个圆柱体的表面积。
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第12讲 圆柱和圆锥的体积
一、夯实基础
本节主要是对圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积以及圆柱、圆锥体积计算。 圆柱的特征：圆柱有一个侧面（展开是长方形）和两个底面（完全相同的圆），圆柱有无数条高（两个底面之间的距离）。 圆柱的侧面积=底面周长×高，S侧=ch=2πrh； 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积； 圆柱的体积=底面积×高，即V=sh=πr2h；
圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面（展开是扇形）。
圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。（一个圆锥只有一条高）； 圆锥的体积=
111×底面积×高，即V=sh=πr2h； 333圆锥的表面积=扇形面积+底圆面积。
二、典型例题
例1．把高10厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60
平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？
分析：把圆柱体按上图切开并拼成近似长方体，表面积比原来增加了左、右两个侧面（长方形），长方形的长是底面半径，宽是圆柱的高。 解：60÷2=30（平方厘米） 30÷10=3（厘米） 3.14×32×10=282.6（立方厘米） 答：圆柱的体积是282.6立方厘米。
例2．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？
分析：要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而题中的圆锥是两个不同形体的几何体熔铸而成的，所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和。 解：设圆锥的高为厘米。
1×（3.14×82×）=18.84×5×4＋3.14×（8÷2）2×25 3=24.375
答：这个圆锥形钢块高是24.375厘米。
例3．下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。求这个油桶的容积。
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分析：图中的两个圆是圆柱的底面，长方形是圆柱的侧面，因为刚好做成一个圆柱形油桶，所以长方形的长相当于圆柱的底面周长，也就是说：以底面直径为1倍，长方形的长应是直径的 方形的宽是直径的2倍。 解：设底面直径为
厘米。
倍。从图中可以看出长
3.14×（4÷2）2×（4×2）=100.48（立方厘米）=100.48（毫升） 答：这个油桶的容积是100.48毫升。
三、熟能生巧
1．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米。求这个圆柱体的体积。
2．求空心机器零件的体积。（单位：厘米）
3．有一张长方体铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？
四、拓展演练
1．一种儿童玩具——陀螺（如下图），上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测试，只有当圆柱直径3厘米，高4厘米，圆锥的高是圆柱高的
3时，才能旋转时稳又快，435
试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）
2．一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍，可装水40千克，那么原来的水桶可装水多少千克？
3．如下图：用一张长82.8厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）。
五、星级挑战
?1．一个胶水瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？
??2．有一块棱长分别为6dm、8dm、10dm的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。求这个圆锥体木块的体积？
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第13讲 画图法解应用题
一、夯实基础
在解答一些应用题时，用作图法可以把题目的数量关系揭示出来，使题意形象具体，一目了然，从而有助于快速找到解题的途径。作图法解题可以画线段图，也可以画示意图，对解答条件隐蔽，复杂疑难应用题，能起到化难为易的作用。
例如在解答和差、和倍和差倍三类问题时，都可以用画图法表示。简图如下： （1）和差问题 （2）和倍问题 （3）差倍问题
二、典型例题
例1．哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？
分析：由已知条件“哥哥给弟弟4 张后，还比弟弟多2 张”画图如下，可知哥哥的邮票比弟弟多4×2＋2＝10 （张）。
解：弟弟有邮票：（70－10）÷2=30 张，
哥哥有邮票：30+10=40 张。
答：弟弟有邮票30张，哥哥有邮票40张。
例2．果园里有桃树、梨树、苹果树共146棵。桃树比梨树少7棵，苹果树比桃树多4棵，三种树各有多少棵？
分析：先用线段图表示出三种树棵数之间的关系：
从图上可以看出，梨树的棵数比桃树多7棵，苹果树的棵数比桃树多4棵，假设移动多的棵数，则两种果树共减少了7＋4=11（棵），相应的总棵数就减少11棵：146－11=135（棵），而135棵对应的就是桃树棵数的3倍。
解：桃树：（146－7－4）÷3=45（棵），
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