(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训3 三角函数与平

保温特训(三) 三角函数与平面向量

基础回扣训练(限时30分钟)

1．已知函数f(x)＝2 cos2

x－3，则下列选项正确的是

A．f(x)在??π?

0，2???上递增

B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的值域为[－3，－1]

2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,2)，若a⊥b，则|b|＝

A.5 B．25 C．5

D．20

3．函数y＝2sin???x＋π4???cos??π?4－x???

图象的一条对称轴是 A．x＝π

8

B．x＝π4

C．x＝π2

D．x＝π

4．设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是

A．30° B．60° C．90°

D．120°

5．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)＝

A．－12

B．－1 C．－

32

D．－3

( )．

( )．

( )．

( )．

( )．

1

6．函数y＝sin x＋sin?

?π－x?具有性质

??3?

( )．

?π?A．图象关于点?－，0?对称，最大值为1 ?3??π?B．图象关于点?－，0?对称，最大值为2 ?6?

π

C．图象关于直线x＝－对称，最大值为2

3π

D．图象关于直线x＝－对称，最大值为1

6

5

7．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为

2

( )．

A.C.π 6π 3

B.π 4

5D.π 6

8．若△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1，则sin Asin Bsin C的值为

( )．

1A. 4C.3 4

B.3 2

1D. 2

→→→→→→

9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则向量BA在→

向量BC方向上的射影的数量为

( )．

3A. 2C．3

B.3 23 2

D．－

→→→→→→→

10．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是

( )．

A．等边三角形 C．钝角三角形

B．锐角三角形 D．直角三角形

2

π?4?π??11．已知cos α＝－，且α∈?，π?，则tan?α＋?＝________. 4?5?2??12．已知|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|3a－2b|＝________.

→→→→→

13．在△ABC中，已知AB·AC＝4，AB·BC＝－12，则|AB|＝________. 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin则△ABC的面积的最大值为________．

12??15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量p＝?1－sin A，?，q＝(cos 7??2A,2sin A)，且p∥q. (1)求sin A的值；

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a.

临考易错提醒

1．应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示

???π

为?x?x＝2kπ－，k∈Z

2???

2

A＋B7

－cos 2C＝，且c＝7，22

?????3π

?，也可以表示为?x?x＝2kπ＋，k∈Z?

2?????

.

2．应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常函数就不存在最小正周期．求函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，2π

则其最小正周期是；求函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的

|ω|限制条件，则其最小正周期是

π. |ω|

3．易混淆y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换顺序，不清楚每一次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．

4．应注意正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点与x轴垂直的直线；正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心是函数图象与x轴的交点以及在定义域内被排除掉的点．

5．注意向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量相加．向量的减法是被减向量加上减向量的相反向量，特别要注意对平面上任→→→→→

意一点O，向量AB＝AO＋OB(加法的三角形法则)＝OB－OA(减法的三角形法则)． 6．易混淆向量共线与直线共线的区别，向量共线是指向量所在的直线平行或者重合，而直线共线是指它们重合．

7．应注意向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，→→

则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，根据AB＝(xB－xA，yB－yA)，无论向量AB在

3

→

平面上如何移动，向量AB的坐标是唯一的．

8．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0，而不是等于0，0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0. 9．易误认向量的数量积的运算定律与实数相同，实际上在一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)；a·b＝0时未必有a＝0或b＝0.

10．已知两边及其中一边的对角解三角形时，应注意对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系，二是两边的大小关系．

参考答案

保温特训(三)

1．D [当cos x＝0时，f(x)取最小值，f(x)min＝－3；当cos x＝±1时，f(x)取最大值，f(x)max＝－1，所以函数f(x)的值域为[－3，－1]．]

2

2．B [因为a⊥b，所以a·b＝x－4＝0，解得x＝4，所以|b|＝x＋4＝25，选B.]

?π??π?3．B [y＝2sin?x＋?cos?－x?

4??4??

π??π??π?2?＝2sin?x＋?sin?x＋?＝2sin?x＋?

4??4?4???π??＝1－cos?2x＋?＝1＋sin 2x， 2??

π

∵x＝时，y＝1＋1＝2，

4π

∴x＝是函数图象的一条对称轴．]

4

2

4．D [由a·(a＋b)＝0得a·a＋a·b＝0，即|a|＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，将已知

1

数据代入解得cos〈a，b〉＝－，

2

∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]

?π?5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A＝2.又因为函数经过点?，2?，则?3?

πππ?π?2sin?2×＋φ?＝2，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.f(0)

3326??

?π?＝2sin φ＝2sin?－＋2kπ?＝－1.] ?6?

ππ?π??π?6．A [因为y＝sin x＋sin?－x?＝sin x＋sincos x－cossin x＝sin?x＋?，

3?33?3??

π

所以最大值为1，又当x＝－时，y＝0，故选A.]

3

523441

7．A [由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝，则sin A＝，＝，sin B＝.又a>b，

554sin B2

5

π

B必为锐角，所以B＝.]

6

11

8．D [根据三角形面积公式和正弦定理S＝absin C＝2Rsin A·2Rsin B·sin C＝

22

4

12

2Rsin Asin Bsin C，将R＝1和S＝1代入得sin Asin Bsin C＝.] 2

9．A [由已知可知，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角

πππ→→→→

三角形．且A＝，又因为|OA|＝|CA|，∴C＝，B＝，∴AB＝3，AC＝1，故BA在BC236π3→

上的射影|BA|cos＝.] 62

→2→→→→→→→2→→→→→→→→

10．D [∵AB＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，∴AB－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，∴AB(AB→→→→→→→2→→→

－AC)＝BC·(BA－CA)，∴AB·CB＝BC，∴CB·(BC＋AB)＝0， →→

∴CB·AC＝0，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．]

43?π?11．解析 ∵cos α＝－且α∈?，π?，∴sin α＝. 55?2?

π

tan α＋tan

4π?31?∴tan α＝－.∴tan?α＋?＝＝.

4?4π7?

1－tan α·tan4

1答案

7

222

12．解析 因为|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|＝4＋4－2a·b＝4，所以解得a·b＝2，所

222

以|3a－2b|＝9|a|＋4|b|－12a·b＝36＋16－24＝28，故|3a－2b|＝27. 答案 27

b2＋c2－a2→→22222

13．解析 ∵AB·AC＝4，∴bc cos A＝＝4，∴b＋c－a＝8，同理a＋c－

2

b2＝24，∴c2＝16，∴c＝4. 答案 4

72A＋B14．解析 因为4sin－cos 2C＝，

22

72

所以2[1－cos(A＋B)]－2cosC＋1＝，

2

72

2＋2cos C－2cosC＋1＝，

2112

即cosC－cos C＋＝0，解得cos C＝.

42

22

1a＋b－722

由余弦定理得cos C＝＝，ab＝a＋b－7≥2ab－7，ab≤7.(当且仅当a＝b＝

22ab7时，“＝”成立)

1137373

从而S＝absin C≤·7·＝，即S的最大值为. 22244答案

73 4

12

15．解 (1)∵p∥q，∴cos 2A＝(1－sin A)·2sin A，

7

2

∴6(1－2sinA)＝7sin A(1－sin A)，

2

5sinA＋7sin A－6＝0，

3

∴sin A＝，sin A＝－2(舍)．

5

5

1

(2)由S△ABC＝bcsin A＝3，b＝2，得c＝5，

2

42

又cos A＝±1－sinA＝±，

5

222

∴a＝b＋c－2bccos A＝4＋25－2×2×5cos A ＝29－20cos A.

42

当cos A＝时，a＝13，a＝13；

542

当cos A＝－时，a＝45，a＝35.

5

6

1

(2)由S△ABC＝bcsin A＝3，b＝2，得c＝5，

2

42

又cos A＝±1－sinA＝±，

5

222

∴a＝b＋c－2bccos A＝4＋25－2×2×5cos A ＝29－20cos A.

42

当cos A＝时，a＝13，a＝13；

542

当cos A＝－时，a＝45，a＝35.

5

6

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