2016中考数学专题突破九：几何综合(含答案)

专题突破(九) 几何综合

在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．

求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．

2011－2015年北京几何综合题考点对比 年份 2011 平行四边形的性质、从特殊到一般、构造图形(全等三角形或等边三角形或特殊平行四边形) 2012 2013 全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，等腰直角三角形旋转的性质 2014 以轴对称和正方形为载体，考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圆及圆周角定理 2015 以正方形为载体，考查了平移作图，利用轴对称图形的性质证明线段相等及写出求线段长的过程 考点 旋转变换、对称变换、构造全等三角形 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.

(1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)；

②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明．

(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果) ．．．．．．．．．

图Z9－1

2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.

(1)依题意补全图Z9－2①；

(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；

(3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

图Z9－2

3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

图Z9－3

4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.

(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；

(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．

图Z9－4

5．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.

(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；

(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；

(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．

图Z9－5

1．[2015·怀柔一模] 在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.

(1)依题意补全图Z9－6①；

(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；

(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．

图Z9－6

2．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.

(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上． ①依题意补全图(a)；

②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．

(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．

图Z9－7

3．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.

(1)依题意补全图形； (2)求证：EG＝BC；

(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．

图Z9－8

4．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.

(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)． (2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.

①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD； ②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.

图Z9－9

5．[2015·西城一模] 在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.

AF

(1)如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，＝________；

BEAF

(2)如图②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度数和的值，并证明你的结论；

BEAF

(3)如果∠BAC＝α，那么＝________．(用含α的代数式表示)

BE

图Z9－10

6．[2015·丰台一模] 在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC1

上任意一点(不与点C重合)，过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝∠CAB，过点C作

2CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.

(1)如果∠ACB＝90°，

①如图Z9－11(a)，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；

CF

②如图(b)，当点P不与点A重合时，求的值．

PE

CF

(2)如果∠CAB＝a，如图(c)，请直接写出的值．(用含a的式子表示)

PE

图Z9－11

7．[2015·海淀] 将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.

(1)连接BD，

①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．

②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．

(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求α的值．

图Z9－12

8．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________． (2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．

(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

图Z9－13

参考答案

北京真题体验 1.解：(1)①如图(a)所示．

②AH＝PH，AH⊥PH. 证明：连接CH，

由条件易得：△DHQ为等腰直角三角形， 又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC， ∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP. ∵BD为正方形ABCD的对称轴， ∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP， ∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC， ∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°， ∴AH＝PH且AH⊥PH.

(2)如图(b)，

过点H作HR⊥PC于点R， ∵∠AHQ＝152°， ∴∠AHB＝62°， ∴∠DAH＝17°， ∴∠DCH＝17°.

1－x

设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝.

21－x2HR

由tan17°＝得＝tan17°，

CR1＋x

21－tan17°∴x＝.

1＋tan17°

2．解：(1)补全图形如图①所示：

(2)如图①，连接AE，

则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠EAD＝130°，AE＝AD. ∴∠ADF＝25°.

(3)如图②，连接AE，BF，BD.

由轴对称的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF， ∴∠BFD＝∠BAD＝90°. ∴BF2＋FD2＝BD2. ∴EF2＋FD2＝2AB2.

3．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝α，

11

∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠A)＝90°－α.

22∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∠DBC＝60°， 1

∴∠ABD＝30°－α.

2

(2)△ABE是等边三角形． 证明：连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD， 则BC＝BD，∠DBC＝60°. ∴△BCD为等边三角形． ∴BD＝CD.

∵∠ABE＝60°，

1

∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α.

2在△ABD与△ACD中， AB＝AC，??

?AD＝AD， ??BD＝CD，∴△ABD≌△ACD，

11∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.

22∵∠BCE＝150°，

11

∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α＝∠BAD.

22

在△ABD和△EBC中， ∠BEC＝∠BAD，??

?∠EBC＝∠ABD， ??BC＝BD，

∴△ABD≌△EBC， ∴AB＝BE.

又∵∠ABE＝60°，

∴△ABE是等边三角形．

(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°， ∴∠DCE＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC＝45°，

∴△DEC为等腰直角三角形， ∴DC＝CE＝BC. ∵∠BCE＝150°.

1

∴∠EBC＝(180°－150°)＝15°.

21

∵∠EBC＝30°－α＝15°，

2

∴α＝30°.

4．解：(1)如图①，∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点， ∴BM⊥AC，AM＝MC.

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ， ∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°， ∴CM＝MQ，∠ CMQ＝60°， ∴△CMQ是等边三角形， ∴∠ACQ＝60°， ∴∠CDB＝30°. (2)连接PC，AD，

∵AB＝BC，M是AC的中点， ∴BM⊥AC，

∴AD＝CD，AP＝PC. 在△APD与△CPD中， AD＝CD，??

∵?PD＝PD， ??PA＝PC，∴△APD≌△CPD，

∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD， ∴∠ADC＝2∠CDB. 又∵PQ＝PA，

∴PQ＝PC，∴∠PQC＝∠PCD＝∠PAD， ∴∠PAD＋∠PQD＝∠PQC＋∠PQD＝180°，

∴∠APQ＋∠ADC＝360°－(∠PAD＋∠PQD)＝180°， ∴∠ADC＝180°－∠APQ＝180°－2α， ∴2∠CDB＝180°－2α， ∴∠CDB＝90°－α.

(3)∵∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD，

∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α. ∵点P不与点B，M重合， ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD， ∴2α＞180°－2α＞α， ∴45°＜α＜60°.

5．解：(1)∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF.

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F. ∴∠CEF＝∠F. ∴CE＝CF.

(2)∠BDG＝45°.

(3)如图，分别连接GB，GE，GC，

∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝120°， ∴∠ECF＝∠ABC＝120°. ∵FG∥CE且FG＝CE，

∴四边形CEGF是平行四边形． 由(1)得CE＝CF.

∴四边形CEGF是菱形， ∴GE＝EC，①

1

∠GCF＝∠GCE＝∠ECF＝60°，

2∴△ECG与△FCG是等边三角形， ∴∠GEC＝∠FCG，

∴∠BEG＝∠DCG，②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE.

在?ABCD中，AB＝DC， ∴BE＝DC.③

由①②③得△BEG≌△DCG， ∴BG＝DG，∠1＝∠2，

∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°， 180°－∠BGD

∴∠BDG＝＝60°.

2

北京专题训练 1.解：(1)补全图形，如图①所示． (2)连接AD，如图①.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AD＝AC，∠DAC＝120°， ∴2∠ACE＋120°＝180°.∴∠ACE＝30°.

(3)线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形． 证明：连接AD，EB，如图②.

∵点D与点B关于直线AP对称， ∴AD＝AB，DE＝BE， 可证得∠EDA＝∠EBA. ∵AB＝AC，AB＝AD，

∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE， ∴∠ABE＝∠ACE. 设AC，BE交于点F，

∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，

∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形． 2．解：(1)①补全图形，如图(a)所示．

②如图(b)，由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°. ∵DF⊥BC，

∴∠FDB＝90°. ∴∠ADF＝∠EDB.

∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝∠DFB＝45°. ∴DB＝DF.

∴△ADF≌△EDB. ∴AF＝EB.

在△ABC和△DFB中，

∵AC＝8，DF＝3，

∴AB＝8 2，BF＝3 2. AF＝AB－BF＝5 2， 即BE＝5 2， (2)2BD＝BE＋AB.

3．解：(1)补全图形，如图①所示．

(2)方法一：证明：连接BE，如图②. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC.

∵∠ADC＝120°， ∴∠DCB＝60°.

∵AC]是菱形ABCD的对角线， 1

∴∠DCA＝∠DCB＝30°.

2

∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.

由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°， ∴∠GEB＝∠DEC＋∠BEC＝100°. ∴∠GEB＝∠CBE. ∵∠FBC＝50°，

∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°. ∴∠EBG＝∠BEC.

在△GEB与△CBE中， ∠GEB＝∠CBE，??

?BE＝EB， ??∠EBG＝∠BEC，

∴△GEB≌△CBE. ∴EG＝BC.

方法二：证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图②. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC.

∵∠ADC＝120°， ∴∠DCB＝60°.

∵AC是菱形ABCD的对角线， 1

∴∠DCA＝∠DCB＝30°.

2

∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.

由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°， ∵∠FBC＝50°，

∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°＝∠BEC. ∴BH＝EH.

在△GEH与△CBH中， ∠GEH＝∠CBH，??

?EH＝BH， ??∠EHG＝∠BHC，∴△GEH≌△CBH. ∴EG＝BC.

(3)AE＋BG＝3EG.

4．解：(1)∠ADE＝90°－α.

(2)①证明：∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AB∥EF.

∴∠EDC＝∠ABC＝α. 由(1)知∠ADE＝90°－α，

∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°. ∴AD⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD.

②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α， ∴∠C＝α.

∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BF，AE＝BF. ∴∠EAC＝∠C＝α.

由(1)知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2(90°－α)＝2α， ∴∠DAC＝α. ∴∠DAC＝∠C. ∴AD＝CD.

∵AD＝AE＝BF， ∴BF＝CD. ∴BD＝CF.

1

5．解：(1)90

2

AF3

(2)结论：∠AHB＝90°，＝. BE2证明：如图，连接AD.

∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC.

∴∠1＋∠2＝90°. 又∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°. ∴∠2＋∠C＝90°. ∴∠1＝∠C＝60°. 设AB＝BC＝k(k>0)， 1k3

则CE＝CD＝，DE＝k.

244∵F为DE的中点，

1333

∴DF＝DE＝k，AD＝AB＝k.

2822∴∴

AD3DF3＝，＝. BC2CE2ADDF＝. BCCE

又∵∠1＝∠C， ∴△ADF∽△BCE. ∴

AFAD3＝＝， BEBC2

∠3＝∠4.

又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＋∠6＝90°. ∴∠AHB＝90°. α1

(3)tan(90°－)． 226．解：(1)①作图．

△ADE(或△PDE)．

②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，

∴∠CPM＝∠CAB. 1

∵∠CPE＝∠CAB，

2

1

∴∠CPE＝∠CPN.∴∠CPE＝∠FPN.

2∵PF⊥CG，∴∠PFC＝∠PFN＝90°. ∵PF＝PF，∴△PFC≌△PFN.∴CF＝FN. 由①得：△PME≌△CMN. CFCF1

∴PE＝CN.∴＝＝. PECN21

(2)tanα. 2

7．解：(1)①30°.

②不改变，∠BDC的度数为30°. 方法一：由题意知AB＝AC＝AD.

∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上． 1

∴∠BDC＝∠BAC＝30°.

2方法二：由题意知AB＝AC＝AD. ∵AC＝AD，∠CAD＝α，

180°－α1

∴∠ADC＝∠ABD＝＝90°－α.

22∵AB＝AD，∠BAD＝60°＋α，

180°－(60°＋α)120°－α1

∴∠ADB＝∠ABD＝＝＝60°－α.

22211

∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝(90°－α)－(60°－α)＝30°.

22(2)过点A作AM⊥CD于点M，连接EM.

∴∠AMC＝90°.

在△AEB与△AMC中， ∠AEB＝∠AMC，??

?∠B＝∠ACD， ??AB＝AC，

∴△AEB≌△AMC.

∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM.

∴∠EAM＝∠EAC＋∠CAM＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝60°. ∴△AEM是等边三角形． ∴EM＝AM＝AE.

∵AC＝AD，AM⊥CD， ∴CM＝DM.

又∵∠DEC＝90°， ∴EM＝CM＝DM. ∴AM＝CM＝DM.

∴点A，C，D在以M为圆心，MC为半径的圆上． ∴α＝∠CAD＝90°. 8．解：(1)CH＝AB (2)结论成立．

证明：如图，连接BE.

在正方形ABCD中，

AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°. ∵DE＝DF， ∴AF＝CE.

在△ABF和△CBE中， AB＝CB，??

?∠A＝∠BCE， ??AF＝CE，

∴△ABF≌△CBE. ∴∠1＝∠2.

∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，

∴H，C两点都在以BE为直径的圆上． ∴∠3＝∠2. ∴∠3＝∠1.

∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC＝90°， ∴∠4＝∠HBC. ∴CH＝CB. ∴CH＝AB. (3)3 2＋3.

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