2012年湖北省荆州市中考数学试题及答案

荆州市二O一二年初中毕业生学业及升学考试

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码

粘贴在答题卡指定位置．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域

内．答在试题卷上无效．

4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题(本大题10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)

1．下列实数中，无理数是( ) A．－

5 B．π C．9 D．|－2| 22．用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是( ) A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4 C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16 3．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于( )

A．30° B．35° C．40° D．45°

4．若x?2y?9与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( ) A．3 B．9 C．12 D．27

5．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是( ) ．．A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是5 D．极差是7

6．已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示．．．正确的是( )

0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 1 2 l1 l2

第3题图

A． B． C． D．

7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )

- 1 -

B C A

A． B． C． D．

y??3 xy y?2 x8．如图，点A是反比例函数y=

2(x＞0)的图象上任意一点，AB∥

x轴交

xB C O D A x 3反比例函数y=－ 的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、Dx在x轴上，则S□ABCD为( ) A．2 B．3 C．4 D．5

9．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为( )

A．2 B．23 C．3 D．3

B 第8题图

A E Q P D

F C 第9题图

10．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( ) A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个

图① 图② 图③

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

11．计算－1－(－2)2－(3－2)0＝__▲__． 16F A D E B C 第13题图

12.若x?2y?9与x?y?3互为相反数，则x+y=__▲__ 13. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为__▲__

14．已知：多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y=

k?1的解析式为_▲__ x15．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝__▲__．

- 2 -

10cm y C D O A 12cm E P D y 1M N B P E F A x

B 第15题图

Q C O 5 7 H t 第15题图

图(1) 图(2)

第17题图

16．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为__▲__cm2．(结果可保留根号)

17．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程

1＋1＝1的解为__▲__．

x?1m18．如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：AD＝BE＝5；cos∠ABE＝时，y＝

3；当0＜t≤552t2；当t＝29秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是__▲__(填序号)． 54三、解答题

19．(本题满分7分)先化简，后求值：

(1?a2?1)(a?3)，其中a＝2＋1．

a?3a?1解：原式＝1?a?3＝2． a?1a?1当a＝2＋1时，原式＝

2＝2． 2?1?120．(本题满分8分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC)，得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H． (1)请根据题意用实线补全图形； (2)求证：△AFB≌△AGE．

- 3 -

C E F H A B

G D

C α B

A 第20题图

解：(1)画图，如图1；

(2)由题意得：△ABC≌△AED．

E ∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．在△AFB和△AGE中，

C α D 图1

F G ??ABC??E,? ?AB?AE,??????,?∴△AFB≌△AGE(ASA)．

H B

A 21．(本题满分8分)“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．

人数 300 240 180 120 60 0 D C 10% 40% B A A B C

D 类型

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？ (2)将两幅不完整的图补充完整；

(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 (2)如图2；

- 4 -

人数 300 240 180 120 60 0 20% D C 40% 10% 30% B A A B C D 类型

图2

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． (4)如图3；

开始

A B C D B C D A C D A B D A B C 图3 (列表方法略，参照给分)． P(C粽)＝

3＝1． 1241． 4答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

22．(本题满分9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)

O A D 第22题图

B C

解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA＝OB＝5m，AB＝8m， ∴AF＝BF＝

O A D E F M N 图4

B C 1AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF． 2AF＝0.8＝sin53°

．

AO在Rt△AOF中，sin∠AOF＝

∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．

- 5 -

∵OF＝OA2?AF2＝3(m)，由题意得：MN＝1m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE． 在Rt△ADE中，tan56°＝

AE＝3，∴DE＝2m，DC＝12m

DE21(8＋12)×3－(106π×52－1×8×3)＝20(m2)． 23602∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝答：U型槽的横截面积约为20m2．

23．(本题满分10分)荆州素有“中国淡水鱼都”之美誉．某水产经销商在荆州鱼博会上批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式； (2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

批发单价(元) 26 24 20 40 进货量(千克)

第23题图

?26x (20≤x≤40),解：(1)y＝?

24x (x?40).?(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．

?x?40,由题意得：?

89%?(75?x)?95%x≥93%?75.?解得x≥50．

由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600． ∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大． ∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．

- 6 -

24．(本题满分12)已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1． 综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x1＋(k＋2)＝2kx1．

将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝∴2k·

2

32 y 1 ?1 o 2k，xx＝k?2，

12

k?1k?11 x x?1 2?3 2k＝4·k?2． k?1k?1图5

解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1．

②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x＝∴y的最大值为

25．(本题满分12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE

1)2＋3．

221时，y＝3．

最大

223，最小值为－3．

21＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)． 3(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标； (2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ．．．．

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面

- 7 -

积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

y B C E y B C E D O 图甲

(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． ∴y＝－x2＋2x＋3．

A x D O A x

图乙(备用图)

则点B(1，4)．???????????????????????????????2分 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE＝OA2?OE2＝32． 在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

y M B C 3 E 1 2 ∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝EM2?BM2＝2． O D A P3 ∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 图6

P2 x ∴AB是△ABE外接圆的直径．????????????????????????3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． ∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．????????????????????????5分

BE＝1＝tan∠CBE，

AE31(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．?????????????????????8分 3(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

?k??2,?3k?b?0,将A(3，0)，B(1，4)代入，得?解得?

b?6.k?b?4.??∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝情况一：如图7，当0＜t≤交AE于点G．

3，∴F(3，3)．????9分

223时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN

2 - 8 -

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 由△AHD∽△FHM，得

AD?HK．即t?HK．解得HK＝2t．

3?t3?HKFMHL2∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝

1×3×3－1(3－t)2－1t·2t＝－3t2＋3t．????11分 2222y C E B F P I x D O V Q A 图8

R x

y B C M F L E G H D O N K A D 图7

情况二：如图8，当

3＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE2于点V．由△IQA∽△IPF，得

AQIQ3?t?IQ．解得IQ＝2(3－t)．

．即?FPIPt?33?IQ2∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝

1×(3－t)×2(3－t)－1(3－t)2＝1(3－t)2＝1t2－3t＋9． 222223?32?t?3t (0?t≤),??22综上所述：s＝?????????????????????12分 193?t2?3t? (?t≤3).?22?2

- 9 -

参考答案

一、选择题(每选对一题得3分，共30分)

1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．B

二、填空题(每填对一题得3分，共24分)

11．－1 12.27 13.8 14.y=15．

1或y=－3 xx1 16．753＋360 17．x＝3 18．①③④

2a?3＝2． a?1a?119．解：原式＝1?当a＝2＋1时，原式＝2＝2． 2?1?120．解：(1)画图，如图1； (2)由题意得：△ABC≌△AED．

E ∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．在△AFB和△AGE中，

C α D 图1

F G ??ABC??E,? ?AB?AE,??????,?∴△AFB≌△AGE(ASA)． 21．解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民有600人．2分 (2)如图2；

人数 300 240 180 120 60 0 20% H B

A D C 40% 10% 30% B A A B C D 类型

图2

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． (4)如图3；

开始

A B C D B C D A C D A B D A B C

图3 (列表方法略，参照给分)．

- 10 -

1P(C粽)＝3＝． 124答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

1． 422．解：如图4，连结AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB． ∵OA＝OB＝5m，AB＝8m， ∴AF＝BF＝

1AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF．

2AF＝0.8＝sin53°

．

AOA D E 在Rt△AOF中，sin∠AOF＝

∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°．

∵OF＝OA?AF＝3(m)，由题意得：MN＝1m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE． 在Rt△ADE中，tan56°＝

22O F M N 图4

B C AE＝3，∴DE＝2m，DC＝12m DE2∴S阴＝S梯形ABCD－(S扇OAB－S△OAB)＝答：U型槽的横截面积约为20m2．

1(8＋12)×3－(106π×52－1×8×3)＝20(m2)． 23602?26x (20≤x≤40),23．解：(1)y＝?

24x (x?40).?(2)设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼(75－x)千克，所需进货费用为w元．

?x?40,由题意得：?

89%?(75?x)?95%x≥93%?75.?解得x≥50．

由题意得w＝8(75－x)＋24x＝16x＋600． ∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大． ∴当x＝50时，75－x＝25，W最小＝1400(元)．

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．

24．解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．

- 11 -

综上所述，k的取值范围是k≤2． (2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 由题意得(k－1)x1＋(k＋2)＝2kx1．

将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 2k(x1＋x2)＝4x1x2． 又∵x1＋x2＝∴2k·

2

32 y 1 ?1 o 2k，xx＝k?2，

12

k?1k?11 x x?1 2?3 2k＝4·k?2． k?1k?1图5

解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． ∴所求k值为－1．

②如图5，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时， y最小＝－3；当x＝∴y的最大值为

1)2＋3．

221时，y＝3．

最大

223，最小值为－3．

225．(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)． 将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1． ∴y＝－x2＋2x＋3．

则点B(1，4)．???????????????????????????????2分 (2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)． 在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE＝OA2?OE2＝32． 在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

y M B C 3 E 1 2 ∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝EM2?BM2＝2． O D A P3 ∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°． 图6

P2 x ∴AB是△ABE外接圆的直径．????????????????????????3分 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°． ∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．????????????????????????5分

BE＝1＝tan∠CBE，

AE3 - 12 -

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－1)．?????????????????????8分

3(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

?k??2,?3k?b?0,将A(3，0)，B(1，4)代入，得?解得?

b?6.k?b?4.??∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝情况一：如图7，当0＜t≤交AE于点G．

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L． 由△AHD∽△FHM，得

3，∴F(3，3)．????9分

223时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN

2AD?HK．即t?HK．解得HK＝2t．

3?t3?HKFMHL21×3×3－1(3－t)2－1t·2t＝－3t2＋3t．????11分 2222y C E B F P I x D O V Q A 图8

R x

∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝

y B C M F L E G H D O N K A D 图7

情况二：如图8，当

3＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE2于点V．由△IQA∽△IPF，得

AQIQ3?t?IQ．解得IQ＝2(3－t)．

．即?FPIPt?33?IQ2∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝

1×(3－t)×2(3－t)－1(3－t)2＝1(3－t)2＝1t2－3t＋9． 222223?32?t?3t (0?t≤),??22综上所述：s＝?????????????????????12分 193?t2?3t? (?t≤3).?22?2

- 13 -

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