二年级奥数知识点总结整理

18=8+7+2+1 18=8+5+2+3 18=7+6+4+1 18=6+5+4+3

即得到四组数：（8，7，2，1）、（8，5，2，3）、（7，6，4，1）、（6，5，4，3），把它们填入扁长圆圈时，注意适当调整，就可以得出题目的答案如图9—35所示.

习题十（上）

1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6分钱，有多少种不同的取法？ 2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想出多少种不同的拿法？ 3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少种不同的放法？ 4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放法？ 5.整数6有多少种不同的分拆方式？

6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同的三位数？

7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数？

8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ 1.解：有5种不同的取法.（见下表）

2.解：有7种不同的拿法.（见下表）

3.解：有2种不同的放法.第1种放法：3个苹果全放在一个抽屉里，另一个抽屉空着不放；第2种放法：2个苹果放在一个抽屉里，1个苹果放在另一个抽屉里；注意：在每种放法中，必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2. 4.解：有3种不同的放法.

第1种放法：甲抽屉中放4个，乙抽屉中不放； 第2种放法：甲抽屉中放3个，乙抽屉中放1个； 第3种放法：甲、乙抽屉中各放2个苹果；

注意：这三种放法中，无论哪种放法，都必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2. 5.解：6的不同分拆方式共有10种，它们是： ①拆成两个数之和： 6=5+1=4+2=3+3 ②拆成三个数之和： 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2 ③拆成四个数之和：

6=3+1+1+1=2+2+1+1 ④拆成五个数之和： 6=2+1+1+1+1 ⑤拆成六个数之和： 6=1+1+1+1+1+1.

6.解：可以组成6个不同的三位数.下面是用选择填空法组数；见图10－5.

7.解：列举出两枚硬币搭配的所有情况： 硬币 算式和钱数 1分、1分1+1=2（分） 1分、5分 1+5=6（分）

1分、10分 1+10=11（分）（即1角1分） 1分、50分 1+50=51（分）（即5角1分） 5分、5分 5+5=10（分）（即1角） 5分、10分 5+10=15（分）（即1角5分） 5分、50分 5+50=55（分）（即5角5分） 10分、10分 10+10=2O（分）（即2角） 10分、50分10+50=60（分）（即6角） 共有9种不同的钱数.

8.解：把所有的情况都列举出来：4张3分邮票可组成4种邮资： 3分，6分，9分，12分. 3张5分邮票可组成3种邮资： 5分，10分，15分.

两种邮票搭配可组成12种邮资： 3+5=8（分） 3+10=13（分） 3+15=18（分） 6+5=11（分） 6+10=16（分） 6+15=21（分） 9+5=14（分） 9+10=19（分） 9+15=24（分） 12+5=17（分） 12+10=22（分） 12+15=27（分） 共可组成4+3+12=19种不同的邮资.

第十一讲 考虑所有可能情况（二）

例1 象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？

解：不难看出，这样的两位数共有4对，它们是：（18，81），（27，72），（36，63），（45，54）.

例2 一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如12+21=33（人们通常把12和21这样的两个数叫做一对倒序数）.问在100之内有多少对这样的倒序数？

解：十位数字和个位数字相同的二位数有：11、22、33、44、55、66、77、88、99九个.其中11和22都不能由一对倒序数相加得到.其他各数的倒序数是： 33：12和21………………………………………… 1对 44：13和31………………………………………… 1对 55：14和41、23和32…………………………… 2对 66：15和51、24和42…………………………… 2对 77：16和61、25和52、34和43………………… 3对 88：17和71、26和62、35和53…………………3对 99∶18和81、27和72、36和63、45和54…4对 总数=1+1+2+2+3+3+4=16对.

例3 规定：相同的字母代表同一个数字，不同的字母代表不同的数字.请问，符合下面的算式的数字共有多少组？

解：分两步做.第一，先找出被乘数的个位数字A和乘数A相乘时，积的个位数是A的所有可能情况：

习题一（上）

1.计算：（1）18+28+72 （2）87+15+13 （3）43+56+17+24 （4）28+44+39+62+56+21 2.计算：（1）98+67 （2）43+28 （3）75+26

3.计算：（1）82-49+18 （2）82-50+49 （3）41-64+29

4.计算：（1）99+98+97+96+95 （2）9+99+999

5.计算：（1）5+6+7+8+9 （2）5+10+15+20+25+30+35 （3）9+18+27+36+45+54 （4）12+14+16+18+20+22+24+26 6.计算：（1）53+49+51+48+52+50 （2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84

7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118 （2）87+15+13=（87+13）+15 =100+15=115

（3）43+56+17+24 =（43+17）+（56+24） =60+80=140

（4）28+44+39+62+56+21

=（28+62）+（44+56）+（39+21） =90+100+60=250 2.解：（1）98+67=98+2+65 =100+65=165

（2）43+28=43+7+21=50+21=71 或43+28=41+（2+28）=41+30=71 （3）75+26=75+25+1=100+1=101 3.解：（1）82-49+18=82+18-49 =100-49=51

（2）82-50+49=82-1=81 （减50再加49等于减1） （3）41-64+29=41+29-64 =70-64=6

4.解：（1）99+98+97+96+95 =100×5-1-2-3-4-5 =500-15=485

（每个加数都按100算，再把多加的减去）或99+98+97+96+95=97×5=485 （2）9+99+999=10+100+1000-3 =1110-3=1107 5.解：（1）5+6+7+8+9 =7×5=35

（2）5+10+15+20+25+30+35 =20×7=140

（3）9+18+27+36+45+54 =（9+54）×3=63×3=189

（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152 6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0 =300+3=303

（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4 =800+4=804

7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78 方法2：原式=21×4-6=84-6=78

方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78

习题二（上）

数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.

例1 数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？

解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以： 黑方块是：4×8=32（个） 白方块是：4×8=32（个）

再仔细观察图2－2，从上往下看： 第一行白方块5个，黑方块4个； 第二行白方块4个，黑方块5个； 第三、五、七行同第一行， 第四、六、八行同第二行；

但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个. 白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个） 黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个） 再一种方法是：

每一行的白方块和黑方块共9个. 共有9行，所以，白、黑方块的总数是： 9×9=81（个）.

由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.

例2 图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？

解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.

例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：

（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？ （2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？

（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？

解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.

（1）3面涂色的小立方体共有1个； （2）4面涂色的小立方体共有4个； （3）5面涂色的小立方体共有3个.

例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：］

（1）1面涂成红色的有几个？ （2）2面涂成红色的有几个？ （3）3面涂成红色的有几个？

解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：

3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加1，其中最大的自然数等于切的刀数. 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =1+78 =79（块）.

4.解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律. 第一个拐弯处 2=1+1 第二个拐弯处 4=1+1+2 第三个拐弯处 7=1+1+2+3 第四个拐弯处 11=1+1+2+3+4 第五个拐弯处 16=1+1+2+3+4+5

发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个自然数.

所以第十个拐弯处的数是： 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.

方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8—12），按要求把自然数排列在三角形的边上，答案也是56.

5.解：对简单的情况，仔细观察、分析，大胆猜想，找出规律，用于解决复杂的情况.如图8—13所示：切一刀，1种切法：1=1

切两刀，2种切法：2=1+1 切三刀，4种切法：4=1+1+2 大胆猜想，切四刀的切法数应为： 1+1+2+3=7种切法. 进行验证（实际切切看）：

应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55

习题九（上）

1.在图9—15，9—16中，只能用图中已有的三个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.

2.把10、12、14这三个数填在图9—17的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数之和都相等.

3.在图9—18中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15.

4.与第3题的图相似，只是已经把1、4、6三个数填好，请你继续把图9—19填满.

5.图9—20中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小圆圈里，要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14.

6.图9—21是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填在九个小圆圈中，让每个三角形上的三个数之和都是15. 7.图9—22是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.

1.解：因为空格中只能用4、6、8填，不难看出左上角的空格只能填6，见图9—23.同样道理，右下角也只能填6，见图9—24.下一步就能容易地填满其他空格了（见图9— 25）.

在图9—16中，显然右下角应填7，见图9—26.而右上角应填5，见图9—27.这样其他空格随之就可以填满了，见图9—28.

2.解：模仿例1的填法.首先将10、12、14三个数的中间数12填在中心方格中，并使一条对角线上的三个数都是12，见图9—29，第二步再按要求填满其他空格就容易了，见图9—30.

3.解：这样想，图9—18中还空着四个小区域需要填入四个数：1、2、4、6.还可看出中心的一个小区域属于三个圆圈，这里应填哪个数呢？下面用拆数方法来分析确定.

先见图9—18中的圆圈Ⅰ，圆中已有两个数5和7，所以空着的两个小区域应填的两个数之和为15-5-7=3.再将3分拆成3=1+2，但是在1和2中应把哪一个填到中心的小区域里，现在还不能肯定下来.

再看圆圈Ⅱ，圆中已有两个数5和3，15-5-3=7，而7=1+6，即可把7分拆成7=1+6. 最后看圆圈Ⅲ，15-3-7=5，而5=1+4.至此可以看出，应该把“1”填在中心的小区域了（见图9—31）.

4.解：模仿第3题解法拆数： 要填2、3、5、7. 15-4-6=5，5=2+3 15-1-6=8，8=3+5 15-1-4=10，10=3+7

所以，应把3填在中心的小区域，见图9—32.

5.解：如图9—33所示，因为要求大圆上的四个小圆圈中的四个数之和等于14，所以就要把14分拆成四个数相加之和，而且按题目要求这四个数要在1、2、3、4、5、6中选取；14=6+5+2+1， 14=6+4+3+1， 14=5+4+3+2.

6.解：先将15分拆成三个数之和，并且要求各数在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数中选取.用二步分拆法： 15=9+6=9+5+1 15=8+7=8+4+3 15=7+8=7+6+2

以上三式把九个数都用上了.这样（9，5，1）、（8，4，3）和（7，6，2）就可以分别填入角上的3个三角形中.再注意到中间的三角形的三个小圆圈分属于角上的3个三角形，所以从三组中各取一个数重新组成一组填入中间三角形，如取（9，4，2），填出下面的结果，见图9—34.注意此题填法不惟一，你还能想出别种填法吗？

7.解：因为题目要求扁长圆圈上的四个数之和等于18，所以就要将18分拆成四个不相等的整数之和，而且各数要从1～8这八个数中选取.如：

4.解：从最简单情况入手，找规律：

按着这种规律可求得：

（1）当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4 +3+2+1

=10×10=100（块）.

（2）当中央最高一摞是100块时，这堆砖的总数是： 1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1 =100×100=10000（块）.

5.解：（1）数一数，前五层中各层可见的方砖数是：1，3，5，7，9 不难发现，这是一个奇数列.照此规律，十层中可见的方砖总数是： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =100（块）.

（2）再想一想，前五层中，各层不能看到的方砖数是： 第一层 0块； 第二层 1块； 第三层 4块； 第四层 9块； 第五层 16块；

不难发现，1，4，9，16是自然数平方数列，按照此规律把其余各层看不见的砖块数写出来（如下表）：

则看不见的砖块总数为：

习题七（上）

1.仔细观察图7—14，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？

2.仔细观察图7—15，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？

3.仔细观察图7—16，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？

4.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？

5.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？

6.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？

7.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？

8.仔细观察下列图形的变化，请先回答： ①在方框（4）中应画出怎样的图形？

②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？

9.仔细观察下列图形的变化，请先回答： ①在方框（4）中应画出怎样的图形？

②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？

1.答：（见图7—23）.

2.答：（见图7—24）.

3.答：（见图7—25）.

4.答（见图7—26）.

5.答：（见图7—27）.

6.答：（见图7—28）.

7.答：（见图7—29）.

8.答：（见图7—30）.

①先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可以发现：

在（1）中，*在左上角，在（2）中它在右上角，在（3）中它在右下角，……可见它在沿顺时针方向转动.

其他三个小图形，即□、△、○，也和*一样都在沿着顺时针方向转动.

发现规律：因方框中的每个小图形的位置的变化都是按顺时针方向旋转，可以说，方框连同内部的小图形及整体在按顺时针方向旋转.

②进一步猜想，根据所发现的规律进一步推测可知，第（4）个方框中的图形的样子. ③按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，进一步还可发现，图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，完全同样的图形又重新出现，如第（1）、（5）、（9）个图形是完全一样的.因为2＋4＋4=10，所以第（10）个方框内的图形与第（2）完全相同.

9.答：（见图7—31）

第七讲 找规律（二）

例1 仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？

解：仔细观察图7—1，可知：

第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形. 第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形.

其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同.都是左边的图形大，右边的图形小.

猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形.（如图7—3）.

仔细观察图7—2可知：

第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线.右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的.

第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的.

其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋转放置后成为右边图形.

猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形.如图7—4示.

例2 按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？

解：图7—5的？处应填○▲.注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边.

再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边.按这个移动规律，可知图7—5中第3组“？”处应填：○▲.

图7—6的？处应填□△0.仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边.按这个规律可知图7—6中第3组中间“？”处是：□△0. 例3 观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？

再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？

解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现：

方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如△、□和○也都是按逆时针方向旋转的.

也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转.

因此，方框（4）中的小图形应画成图7—8状.再按已找到的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次.如，你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的.即第（10）个方框中的图形应是图7—9所示的样子. 例4 观察图7—10的变化，请先回答： 第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？ 第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？

解：（1）按图7—10中（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现黑点位置的变化规律：

在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；

在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上； 在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了. 按黑点位置的这种变化可推测出：

在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7—11所示.

继续观察下去：

在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；

在（6）中，黑点开始往上升一格；

在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出： 在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7—12所示.

（2）进一步仔细观察图7—10（1）～（9），可发现黑点位置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的位置. 因为2+8=10，2+8+8=18.

所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，见图7—13所示.

习题八（上）

1.如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条线段？

2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三条直线最多有几个交点？

3.图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12刀最多切成多少块？

4.如图8—9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是几？

5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一点上，如图8—11所示）？

1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =78（条）.

2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =78（个）.

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