2010年初三“周报杯”全国数学联赛竞赛试题及答案解析

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若

ab?20， bc?10，则

a?bb?c的值为（ ）．

2111（A）

1121 （B）

aa?bb?c （C）

20?11?1102101111021 （D）

21011

解：D 由题设得

?b?1cb2??．

1?2．若实数a，b满足

12a?ab?b?2?0，则a的取值范围是 （ ）．

（A）a≤?2 （B）a≥4 （C）a≤?2或 a≥4 （D）?2≤a≤4 解．C

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2的判别式 ?＝(?a)2?4?1?(12a?2)≥0,解得

?ab?12a?2?0

a≤?2或 a≥4．

33．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=2CD＝42，则AD边的长为（ ）．

（A）2（C）4?解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．

由已知可得 BE=AE=于是 EF＝4＋

6，BC=4?22，6

6（B）46

（第3题） （D）2?26，CF＝22，DF＝266，

（第3题） ．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD?

(4?6)?(6)1

22?(2?24)2＝2?26．

4．在一列数x1，x2，x3，……中，已知x1?k?1??k?2?? 且当k≥2时，xk?xk?1?1?4??1，?????4??4??????（取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2，?0.2??0），则x2010等于（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由x1??k?1??k?2????1和xk?xk?1?1?4????4??4??????可得

?3x1?1，x2?2x5?1，x6?2，x3，x7，x4?4， ，

?3，x8?4……

因为2010=4×502+2，所以x2010=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．

（A）（2010，2） （B）（2010，?2） （C）（2012，?2） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，?2）．

（a2， b2)，其中a2记P2?2,b2??2．

（第5题） 根据对称关系，依次可以求得：

P3(?4?a2，－2－b2)4?b2)，P5(?a2，?2?b2)，P6(4?a2，b2)． ，P4(2?a2，令P6(a6,b2)，同样可以求得，点P10的坐标为（4?a6,b2），即P10（4?2?a2,b2），

由于2010=4?502+2，所以点P2010的坐标为（2010，?2）． 二、填空题

6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．

2

解：0

由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

10?a?b??S， ①

， ② x?S15?a?c??2Sb?c??S ③ ．

t?30?10?5?15（分）．

（b?c）?由①②，得30，所以，x=30． 故

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：y??13x+113（第8题） （第8题

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，

过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线MN即为所求的直线l．

3

设直线l的函数表达式为y1?k??，??3,故所求直线l?11?b?.?3??kx?b，则??2k+b?3，?5k?b?2，

解得 的函数表达式为y??13x+113．

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则

AEAD? ．

解：

5?12

见题图，设FC?m,AF?n．

AB?AF?AC?n(n?m)，即

2（第9题）

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 又因为 FC＝DC＝AB，所以 解得

nm5?12．

(nm)?2m2nm?1?0 ，

?，或

nm??5?12（舍去）．

AEBCAFFCnm又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以

AEAD????5?12， 即

AEAD=

5?12．

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值n0满足

2000?n0?3000，则正整数k的最小值为 ． 3， ?，k的倍数，所以n的最小值n0满足 解：9 因为n?1为2，n0?1??2， 3， ?，k?，

3， ?，k?表示2， 3， ?，k的最小公倍数． 其中?2， 3， ?， 8??840， 3， ?， 9??2520， 由于?2，?2， 3， ?， 10???2，2520， 3， ?， 11??27720， ?2，因此满足2000?n0?3000的正整数k的最小值为9．

4

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tan?PAD?

EFBC．

（第11题） ）证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC， FD⊥BC，

因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则

?AEF??ABC??ACB??AFD，

（第11题） 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

EFBCEFBC??AHAP），

，

PDAP?EFBC从而 所以

PDAPtan?PAD?. …………（20分）

5

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