第二十二届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题

第二十二届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题

一、 选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分）

1、 在正方体的八个顶点上分别标注数字1——8，使得每个面上的四个顶点处的数字和均相等。

那么这个相等的和是 。

2、 满足不等式＜4的x的取值范围是 。

A、x＞3 B、x＜－ C、x＞3或x＜－ D、无法确定

3、 梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝1000，AD＝2010，∠A＝37°，∠D＝53°，M是BC的中点，N是AD

的中点，则线段MN的长为 。

4、 如果a是方程的一个根，那么的值为 。

A、1 B、－1 C、2 D、－2 5、 已知x、y、z都是实数，且 。

A、只有最大值 B、只有最小值 C、既有最大值也有最小值 D、既无最大值也无最小值

A6、 如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在AB、BC、CA上，且OP∥BC，

OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则 ROPx＝ 。

A、 B、 C、 D、 CBQ7、 一枚不均衡的正方体骰子，投掷一次出现1点，2点，3点，4点，5点，

6点的概率之比是

1：2：3：4：5：6，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的概率是 。 A、 B、 C、 D、 8、 一个三角形的三个顶点分别是（0，0），（1，1），（6m，0）。直线y＝mx把此三角形的面积二等分，

所有满足条件的m的值之和是 。

A、－ B、－ C、 D、

9、 对每个正整数n，用S（n）表示n的各位数字之和，那么有 个n使得:

n＋S(n)＋S(S(n))＝2010成立。

A、2 B、3 C、4 D、5 10、 定义函数f（x）＝，令，，?，，

n是正整数，在0≤x≤1的范围内，共有 个x值可使（ ） A、2010 B、4020 C、 D、

二、填空题（共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分）

11、 共有 组整数解。 12、 从1—2010这2010个自然数中最多能取出 个数，使得其中任意两数不连续而且其差不等

于4。 13、 如图所示，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在BC边上，且BP＝3，把△ABC绕点P逆

时针旋转90°至△DEF处，则△ABC与△DEF重合部分，（图中阴影部分）的面积是 。 14、 正整数a、b、c、d满足a＞b＞c＞d，且，那么a的可能值共有 个。 15、

五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，在这个乘法算式中，每个数字表示一个数字，

不同的汉字可能表示相同的数字，首位数字不为0，那么四位数五羊杯数＝ 。 16、 设下列三个一元二次方程：；；，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 。 17、 有20个重量都是整数克的砝码，可以有重量相同的砝码，用它们可以称出重量为整数克并且不

超过2010克的所有物体的重量，称量时砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘。这20个砝

码中最重的砝码最小是 克。 18、 实数a，b，x，y满足ax＋by＝3，a，a，a，那么

a 。 19、 满足abcde≤a＋b＋c＋d＋e≤10的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有 组。 20、 方程[x]＋＝3的解是 。其中[x]表示不超过x的最大整数。

一、 选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分） 1、在正方体的八个顶点上分别标注数字1——8，使得每个面上的四个顶点处4的数字和均相等。那么这个相等的和是 。

8解：每个点上所标的数被三个面所用，所以六个面上的“面和”＝（1＋2＋316＋4＋5＋6＋7＋8）×3＝108，所以每个面上的四个数之和＝108÷6＝18 272、 满足不等式＜4的x的取值范围是 。

A、x＞3 B、x＜－ C、x＞3或x＜－ D、无法确定 解：＜4，，＜0，当x＞0时化为＞0，所以x＞3；当x时，化为＞0，所以x＜－。答案：C

53P3、 梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝1000，AD＝2010，∠A＝37°，∠D＝

53°，M是BC的中点，N是AD的中点，则线段MN的长为 。 CBM解：延长AB，DC交于点P，∠A＝37°，∠D＝53°，则∠APD＝90°

∴ PM＝，PN＝，

DNA∴ MN＝505

4、 如果a是方程的一个根，那么的值为 。

A、1 B、－1 C、2 D、－2 解：。答案：B

5、 已知x、y、z都是实数，且 。

A、只有最大值 B、只有最小值 C、既有最大值也有最小值 D、既无最大值也无最小值 解：；

A6、 如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在AB、BC、CA上，且OP∥BC，

OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则 ROPx＝ 。

A、 B、 C、 D、 CBQ解：分别过点P、Q、R作PD∥AC交BC于D，QE∥AB交AC于E，RF∥BC

A交AB于F。则PD＝DQ＝QE＝ER＝RF＝FP＝x，，即BD＝；

R，即CQ＝。BC＝BD＋DQ＋CQ，即a＝＋x＋ FO。答案：A PE7、 一枚不均衡的正方体骰子，投掷一次出现1点，2点，3点，4点，5

CB点，6点的概率之比是 QD1：2：3：4：5：6，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的概率是 。

A、 B、 C、 D、

解：投掷一次骰子，出现点数为k（1≤k≤6）的概率是，连掷两次这枚骰子，出现的点数之和为7的

情形是（1＋6），（6＋1），（2＋5），（5＋2），（3＋4），（4＋3）。所以出现的点数之和为7的概率＝······。答案：C

8、 一个三角形的三个顶点分别是（0，0），（1，1），（6m，0）。直线y＝mx把此三角形的面积二等分，

所有满足条件的m的值之和是 。

A、－ B、－ C、 D、 解：由于O（0，0），A（6m，0）都在x轴上，B（1，1），且直线y＝mx过原点，所以要平分△OAB

的面积，直线y＝mx必须过AB的中点M（）。即：m·，解得，， 所以。答案：B

9、 对每个正整数n，用S（n）表示n的各位数字之和，那么有 个n使得:

n＋S(n)＋S(S(n))＝2010成立。

A、2 B、3 C、4 D、5 解：n≤2010，S（n）≤S（1999）＝28，S（S（n））≤S（28）＝10，n＋S(n)＋S(S(n))＝2010，所以

n≥2010－28－10＝1972，当n＝1978，1981，1984，2002时可使n＋S(n)＋S(S(n))＝2010。 10、 定义函数f(x)＝，令，，?，，

n是正整数，在0≤x≤1的范围内，共有 个x值可使（ ） A、2010 B、4020 C、 D、 解：f（x）＝，f（x）的图象如右图：

在0≤x≤1时有两个x值使f（x）＝ 用表示使得的个数，则；

1 0.0 1 f（f（x））＝ 的图象如右：

在0≤x≤1时有四个x值使＝，则

x的取值范围和的取值范围都是01，而每次都有两种选择，所以使得的x

值共有个。答案：C 二、 填空题（共10小题，每小题选对得5分，否则得0分。本题满分50分） 共有 2010 组整数解。

（）＝（），（），（2），（），?，（），（）共2010组

1 0.0 1 12、从1—2010这2010个自然数中最多能取出 804 个数，使得其中任意两数不连续而且其差不等于5 4

从1开始每10个连续自然数为一组，每组取个位数字是1、3、6、8的四个数，这样12010最多

可以取201×4＝804个。

A

13、如图所示，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在BC边上，且BP＝3，把△ABC绕点P逆时针旋转90°至△DEF处，则△ABC与△DEF重合部分，（图中阴影部分）的面积是 1.44平方单位 。

由题意得，PC＝2，PW＝PV＝1.5，BV＝1.5，VC＝3.5，WC＝2.5 △CPW∽△CXV，，：： ∴×1.5÷－1.5＝1.44

FXWVBDPCE14、 正整数a、b、c、d满足a＞b＞c＞d，且，那么a的可能值共有 1006 个

因为，而、都是正整数。所以，即a＋＋c＋＝2010，所以a＋c＝1006，

15、 五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，在这个乘法算式中，每个数字表示一个数字，

不同的汉字可能表示相同的数字，首位数字不为0，那么四位数 五羊杯数 = 1667 。

五羊杯数×学竞赛好×3＝五羊杯数学竞赛好，化为：学竞赛杯 五羊杯数

3ab=10000a+b， b也是a的倍数，设b=na，所以n=是正整数。=a a的倍数，右边=b 10000a左边是是a的倍数，所以

3×1000－1≤3a－1≤10000，3a－1＝5000或10000，a＝1667或a＝（舍去）进而n＝2，b＝an＝1667×2＝3334，所以四位数

16、设下列三个一元二次方程：；；，至少则实数a的取值范五羊杯数= 有一个方程有实根，围是 。 1667 ； ； 。

综合上述，当时，三个方程均没有实数根，故当或时，至少有一个方程有实根。

17、有20个重量都是整数克的砝码，可以有重量相同的砝码，用它们可以称出重量为整数克并且不超

过2010克的所有物体的重量，称量时砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘。这20个砝码中最重的砝码最小是 147 克。

18、实数a，b，x，y满足ax＋by＝3，a，a，a，那么

a 。

(a，整理得：a，得方程：；

18、实数a，b，x，y满足ax＋by＝3，a，a，a，那么

a 。

(a，整理得：a，得方程：； （a，整理得：a ，得方程：； 得方程组：，解得： （a ，整理得： .

19、满足abcde≤a＋b＋c＋d＋e≤10的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有 116 组。

当a＝b＝c＝d＝e＝1时，所以（a，b，c，d，e）＝（1，1，1，1，1）只有一组解；

当a，b，c，d，e中有四个为1时，第五个有2，3，4，5，6五种可能。所以（a，b，c，d，e）共有5×5＝25组解；

当a，b，c，d，e中有三个为1时，另两个可能是（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），再考虑计数顺序，共有×8＝80组种；

当a，b，c，d，e中有二个为1时，由于其积小于等于10，所以其余三个都必须是2，，这时共有＝10组解

所以满足题设条件的有序正整数组（a，b，c，d，e）共有1＋25＋80＋10＝160（组） 20、方程[x]＋＝3的解是 3 。其中[x]表示不超过x的最大整数。

由题意知：x＞0

当时，[x]＝0，原方程化为：＝3，即3，解得：； 当x＞1时，，＝0，原方程化为：[x]＝3，3。 当x＝1时，不合题意。综上此方程的解为：3

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