【数学】江苏省泰州市2017届高考一模试卷(解析版)

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江苏省泰州市2017届高考数学一模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．（5分）函数

的最小正周期为．

2．（5分）设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ． 3．（5分）复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为．

4．（5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．

5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．

6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．

7．（5分）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生甲乙第1次 65 80 第2次 80 70 第3次 70 75 第4次 85 80 第5次 75 70 则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．

8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为 cm3．

9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线一条渐近线，则该双曲线的离心率为．

10．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．

11．（5分）在△ABC中，若

，则

的值为．

相交于点P．若两=1（a＞0，b＞0）的

12．（5分）已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．

13．（5分）已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为． 14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为

，求点B的坐标．

．

16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

（a＞b＞0）的离心率

为，焦点到相应准线的距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线

于点Q，求

的值．

18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=

时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当

时，求函数f（x）的最小值；

（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

20．（16分）已知等差数列{an}的公差d不为0，且＜kn＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求

的值；

，

，…，

，…（k1＜k2＜…

（2）当

为何值时，数列{kn}为等比数列；

恒成立，求a1的

（3）若数列{kn}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式取值范围．

（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-1：几何证明选讲]

21．（10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．

[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知向量

是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系

xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，求直线

[选修4-5：不等式选讲] 24．求函数

被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．

的最大值．

[必做题]（共2小题，满分20分）

25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若

，求AP与AQ所成角的余弦值；

（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；

（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

参考答案

一、填空题 1．

的最小正周期为

．

，

【解析】函数故答案为：2． {1，3，5}

【解析】集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}． 3．﹣3

【解析】∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i， ∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3． 4．0.17

【解析】∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35， ∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17． 5． 5

【解析】当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5 故答案为：5． 6． 7

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z

平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由

，解得A（1，2），

代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．

7．20

【解析】根据题意，对于甲，其平均数

甲

=75，其方差S甲2=[（65﹣

75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数

乙

==75，其方差S

乙

=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+

（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20． 8．

【解析】∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm， ∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：

=（cm3）．

故答案为：． 9．

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，

【解析】直线2x+y=0为双曲线可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=

．．

故答案为：10．

【解析】设最上面一节的容积为a1，

由题设知，

解得故答案为：11．

．．

【解析】在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由

，

得ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC，由余弦定理得：

（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），

化简得=2，

∴=，

==．

．

由正弦定理得故答案为：

12．

【解析】由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx=

=，a＞0，

设交点P（m，n），

f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx， g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm?（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，

则=1，

分子分母同除以cos2m，即有

=1，

即为a2=1+

，

解得a=故答案为：13．

．

【解析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|， x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4； ≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞故

＜x＜4；

时，g（x）=0＞0，不合题意；

或x＜﹣

，

0≤x＜﹣

≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；

时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

x＜﹣

故x＜﹣2，故答案为：

．

14． [

，

]

【解析】在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由1）或（由

，1），

，可得C（1，

）或（1，﹣

）

，可得B（

，

解得BCmin=BCmax=故答案为：[

，

=]．

．

，

二、解答题

15．解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，

所以，即

．

=，

（2）因为，，∴．

因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，

因为α为锐角，所以．

所以

，

即点

．

16．证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．

又因为OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．

（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD．因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．又因为PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．

又因为OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．

17．解：（1）由题意得，解得

，c=1，b=1．

．，

，

所以椭圆的方程为

（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，

，

，所以

．

当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．

由

得（2k2+1）x2=2，解得

，所以，

所以．

因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．

由得

，所以OQ2=2k2+2．

所以．

综上，可知．．

18．解：（1）当∠EFP=所以∠FPE=

时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．

．所以FN⊥BC，

四边形MNPE为矩形．

所以四边形MNPE的面积S=PN?MN=2m2．（2）解法一：设所以

，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．，

，

．

由得

所以四边形MNPE面积为==

．

当且仅当

此时，（*）成立．答：当最大值为解法二：

设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．

因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即

．

时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大， m2．

，即

时取“=”．

所以，．

由得

所以四边形MNPE面积为

=当且仅当

此时，（*）成立．答：当点E距B点

m2．

19．解：（1）当所以

令f'（x）=0，得x=2，

当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．

时，

．，（x＞0）．

m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为，即

．

时取“=”． =

所以当x=2时，f（x）有最小值

．

（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得

．

所以当a≤0时，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，

，

所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，

所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．

（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，

所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．

当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即又因为

，所以2lnx0+x0﹣1＞0，

．

，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．，

又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得

．

又由，得，

所以0＜a＜1．