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天天练23 等比数列＼
一、选择题
1. 已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为( ) A. －24 B. －24或0 C. 12或0 D. 24 【答案】A
2
【解析】由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不
2n－1，合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以an＝－3·所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.
2. 若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是( ) A. pm B. p2m C. qm D. q2m 【答案】C
【解析】因为项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，所以得amam＋1＝q，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(amam＋1)m＝qm. 选C.
3. 已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( ) A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C
【解析】由题意，得
解得
或
(舍去)，故选C.
4. 已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝( ) A. ±64 B. 64 C. 32 D. 16 【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，a2a6＝a＝16，而a2，a4，a6同号，故a4＝4，所以a3a4a5＝a＝64.故选B.
5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2
小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合
等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．
点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．
6. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝6，S3n＝14，则S4n－Sn的值为( )
A. 18 B. 20 C. 24 D. 28
【答案】D
【解析】由等比数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成等比数列，设Sn＝x，则x,6－x,14－6
22
构成等比数列，得到(6－x)＝8x，即x－20x＋36＝0，解得x＝2或x＝18(舍去)．从而
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n是以2为首项，故S4n＝30，S4n－Sn＝30－2＝28，选D.
＝
＝2为公比的等比数列，则S4n－S3n＝24＝16，
7. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a5＋a4的最小值为( ) A. 12 B. 12 C. 12 D. 16 【答案】C
【解析】设等比数列∵∴∵数列∴
且
的各项为正数，
，即
。 。
，
（*），
的公比为。
由（*）可得
∴。
小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 设（），
则∴当∴当选C。
时，时，
单调递减；当
时，
，
单调递增。
。
有极小值，也为最小值，且
点睛：本题综合性较强，解题时需要把所求问题转化成函数的最值问题去处理，需要有一定的转化能力。同时在解题中要根据条件挖掘出隐含的条件
，这也成了解题的关键。在得到
后，再构造函
数，利用导数通过函数的单调性求得最小值，即为所求的最小值。
8. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2 016a2 017>1，.给出下
列结论：(1)0
学§
科§网...学§科§网...学§科§网... 二、填空题
9. 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________. 【答案】1
小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 【解析】本题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查运算求解能力．
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. ∵a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8， ∴
∴
∴a2＝2，b2＝2. ∴＝＝1.
10. 在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________． 【答案】216
考点：等比数列的性质
点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用． 11. 已知在数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1＋|b2|＋…＋|bn|＝________.
n
【答案】4－1
【解析】
，所以
.
，，所以，
，故答案为
点睛：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前项和公式，考查学生的运算能力，属中档题；先由式即可求得
及
求出，再由
．
，求出，从而得到，进而得到
，根据等比数列前项和公
三、解答题
小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝an＋n－3成立． (1)求证：存在实数λ使得数列{an＋λ}为等比数列； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项公式得项之间递推关系an＝3an－1－2，再构造an－1＝3(an－1－1)，由等比数列定义确定结论，（2）因为数列为等差与等比乘积型，所以利用错位相减法求数列{nan}的前n项和Tn.
试题解析：(1)证明：因为Sn＝an＋n－3，① 所以当n＝1时，S1＝a1＋1－3，所以a1＝4. 当n≥2时，Sn－1＝an－1＋n－1－3，② 由①②两式相减得an＝an－an－1＋1，即
an＝3an－1－2(n≥2)．变形得an－1＝3(an－1－1)，而a1－1＝3，
所以数列{an－1}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以存在实数λ＝－1，使得数列{an－1}为等比数列． (2)由(1)得an－1＝3·3
n－1
＝3，
n所以an＝3n＋1，nan＝n·3n＋n，所以Tn＝(1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋3＋…＋n)， 令Vn＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3，③ 则3Vn＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3由③④两式相减得
－2Vn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝所以Vn＝
·3n＋1＋， ·3
n＋12
3
4
1
2
3
nn＋1
，④
－n×3n＋1＝·3n＋1－，
Tn＝
＋＋.
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