实变函数历年考试真题汇总(3)

1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是. （ ）

A.AB是可数； B.AB是不可数； C.AB?c； D.AB?B

陇东学院2014—2015学年第二学期变函数论期末试题(A)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 2.设E是任一可测集,则 ( )

A.E是开集; B.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??; C.E是闭集; D.E是F?型集或G?型集.

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3.设A,B是二集合.下列关系式中成立的是 （ ）

3．设S1,S2为可测点集，S1?S2,且mS1???，则m?S2\\S1??mS2?mS1. 4. 设f(x)是E上的可测函数，并且f(x)?g(x)a.e.于E，则g?x?也是E上的可测函数.

5.设mE?0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数?(x),都有

A.?A?B?\\B?A B.?A\\B??B?A

C. ?A?B??A??B? D.?A?B??A?B

????4.设?En?是一列可测集合,单调递减, 且mE1???,则有 ( ).

?Ef(x)?(x)dx?0,则f(x)?0a.e.于E.

A.m???E?; B. ???n??lim??mEnm??En??limmEn;

?五．计算题(每题10分，共20分)

n?1?nn?1?n??3． 设f(x)??x,x?P,????1,x??0,1?\\P，其中P为cantor集， E???C. m??n??limmEn; D. m?En??limmEn.

?勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. n?1?n???n?1?n??2．lim1nxn???01?n2x2dx

5.设E?Rq为可测集，?fn(x)?是E上的一列非负可测函数，当x?E时对于任一

自然数n，有fn(x)?fn?1(x)，令nlim??fn(x)?f(x),x?E，则 （ ）

A?Elimfx)dx?limn??n(?Efn(x)dx B(x)dx?limn???Elimfn??n?Efn(x)dx

n??C?Elimf)dx?lim)dx

n??n(x)dx?lim???Efn(x)dx D

n?Ef(xn???Efn(x三．判断题(×”每题2分，共10分)

1. 任何无限集合必有可数真子集.. （ ）

2. 设E为R1

的可测子集,若mE?0,则mE?0. （ ）

3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）

4. 若f(x)是可测集E上的L可积函数,则f(x)是E上的有界函数.

（ ）

5.可测函数f(x)在E上L可积?f在E上L可积 （ ）

四．证明题(每题8分，共40分)

1. 证明:???A????B?(A??B).

???????2. 设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则?a?R,则E??xf(x)?a?是一开集.

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问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？

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