高中数学3.2一元二次不等式及其解法教案(一)新人教A版必修5(3)

师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如

x?3x2?3x?2＜0，2?0等都是分式不等式. x?7x?2x?3师 分式不等式的解法.

由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.

解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式. 【例5】 解不等式：

x?3＜0. x?7解法一：化为两个不等式组来解. ∵

?x?3＞0?x?3＜0x?3＜0??0或?∴原不等式的解集?x∈?或-7＜x＜3-7＜x＜3，x?7?x?7＜0?x?7＞0是{x|-7＜x＜3}.

解法二：化为二次不等式来解. ∵

?(x?3)(x?7)＜0x?3＜0???-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}. x?7?x?7?0点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.

x2?3x?2?0. 【例6】 解不等式：2x?2x?3解法一：化为不等式组来解(较繁).

22?x2?3x?2?(x?3x?2)(x?2x?3)?0? ?0??2解法二：∵2x?2x?3??x?2x?3?0?(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)?0, ??(x?3)(x?1)?0,∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}. 练习：解不等式

x?3＞2. x?5答案：{x|-13＜x＜-5}. ［方法引导］ 讲练结合法

通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神. 课堂小结

1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义. 2.求解一般的高次不等式的解法.

特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.

3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为

f(x)f(x)＞0 (或＜0的形式，转化为g(x)g(x)

?f(x)g(x)＞0,?f(x)g(x)＜0,，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.??g(x)?0g(x)?0??布置作业

完成第90页习题3.2A组第5、6题， 习题3.2B组第4题.

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一元二次不等式的解法的应用（一） 例题 例题 练习 一元高次不等式解题步骤 3.2 一元二次不等式的解法的应用(二)第3课时

推进新课

师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab). 生 将原不等式展开，整理得(a-b)x＞ab(a+b).

ab(a?b)ab(a?b),∴x∈(,+∞).

a?ba?b当a=b时，若a=b≥0时x∈?；若a=b＜0时x∈R.

ab(a?b)ab(a?b)当a＜b时，x＜,∴x∈(-∞, ).

a?ba?b讨论：当a＞b时，x＞师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0.

生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0， 若a＞-(a-1),即a＞

1,则x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞). 211若a=-(a-1),即a=,则(x-1[]2)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}.

221若a＜-(a-1),即a＜,则x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).

2师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)＞0.

②相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？ ③讨论：

（ⅰ）当-a＞4，即a＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜4或x＞-a}.

（ⅱ）当-3＜-a＜4，即-4＜a＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜-a或x＞4}.

（ⅲ）当-a＜-3，即a＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-a＜x＜-3或x＞4}.

（ⅳ）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|x＞-3}.

(ⅴ)当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|x＞4}.

师 变题：解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.

师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k2+8k=k(k+8).

(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根. 所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是 {x|

?k?k(k?8)?k?k(k?8)}; ?x?44k}，即{0,2}； 4(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根， 所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{?(3)当Δ＜0,即-8＜k＜0时，方程2x2+kx-k=0无实根， 所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为. 练习 解不等式：mx 2-2x+1＞0.

师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴当m＜0时,Δ＞0,此时x1?1?1?m1?1?m. ＜x2?mm∴解集为{x?1?1?m1?1?m＜x＜ }. mm1}, 2当m＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x＜

当0＜m＜1时,Δ＞0，此时x1?1?1?m1?1?m＞x2?, mm∴解集为{xx＞?1?1?m1?1?m或x＜}.当m＝1时,不等式为(x-1)2＞0, mm∴其解集为{x|x≠1};

当m＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.

师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. ［教师精讲］

对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.

（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.

（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏. 总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，

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