高中数学3.2一元二次不等式及其解法教案(一)新人教A版必修5

3.2 一元二次不等式及其解法

第1课时 教学过程

推进新课

师 因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点. 什么叫做一元二次不等式？

含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式. 那么如何求解呢？

师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，

y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？ 它的对应值表与图象如下：

x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0； 当x＜3.5时，y＜0，即2x-7＜0； 当x＞3.5时，y＞0，即2x-7＞0.

师 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0，0),则有如下结果： （1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；

（2）①当a＞0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②当a＜0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.

a＞0 a＜0

一次函数 y=ax+b(a≠0)

的图象

一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集

b} ab{x|x＞?}

ab{x|x＜?}

a{x|x=?

b} ab{x|x＜?}

ab{x|x＞?}

a{x|x=?

师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0； 当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0； 当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.

这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.

［教师精讲］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.

（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax 2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax 2

+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}. （2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2=?{x|x≠?b,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是2ab}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是. 2a(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是. Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象 ax2+bx+c=0的根 x1=x2=? Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 x1.2?b??? ?2ab 2a? ax2+bx+c＞0的解集 {x|x＜x1或x＞x2} ax2+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} {x|x≠?b} 2aR ? ? 对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. ［知识拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因为Δ＞0，2x2-5x-3=0的解是x1=-

11,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜?，或x＞223}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.

生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=?11.所以不等式的解集是{x|x≠?}. 22【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.

生 解：整理化简，得x2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是?.

师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：

（1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0). （2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：

?若y＞0,则x?x1或x＞x2;①Δ＞0时，求根x1＜x2，?

?若y＜0,则x1＜x＜x2.;?若y＞0,则x?x0的一切实数?②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，?若y＜0,则x??;

?若y?0,则x?x.0?③Δ＜0时，方程无解，??若y＞0,则x?R;?若y?0,则x??.

（3）写出解集.

师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中数学3.2一元二次不等式及其解法教案(一)新人教A版必修5在线全文阅读。