第1章 行列式

第一章 行列式

1.1 n阶行列式的定义

1、什么是二阶行列式？它与二阶线性方程组的关系？二阶行列式的代数表达式？ 2、什么是三阶行列式？它与三阶线性方程组的关系？三阶行列式的代数表达式（对角线法则）？

3、由二阶、三阶行列式的共性？四阶行列式如何计算？

4、全排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列的概念；逆序数的记号。 5、什么是对换？对换的性质。 6、奇排列与偶排列的关系？ 7、分析三阶行列式的特点。 8、n阶行列式的两种定义。

9、三种特殊的行列式：对角行列式、上三角行列式、下三角行列式。 1.2 n阶行列式的性质

本章共讲了行列式的6个性质，4个推论。

1、本节讲了哪些概念（定义）？转置、余子式与代数余子式 1、请将行列式的性质进行分类。

2、教材中所列行列式为零的条件有几个？分别有哪些？ 3、行列式元素的余子式与代数余子式。 4、行列式展开定理 1.3 n阶行列式的计算

1、行列式的计算通常有几种方法？请分别列出。 2、“两条线型行列式”如何计算？ 3、“箭型行列式”如何计算？ 4、“三对角行列式”如何计算？ 5、“Hessenberg型行列式”如何计算？

6、范德蒙德(Vandermonde)行列式的形式及计算结果。能否利用递推法证明例7？ 1.4 Cramer法则

1、克莱姆生平简介

克莱姆（Gabriel Cramer，公元1704年7月31日─公元1752年1月4日）瑞士数学家。生于日内瓦，卒于法国塞兹河畔巴尼奥勒。早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰?伯努利（Johann Bernoulli）、欧拉（Euler）等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联繫，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。 他的主要著作是在1750年出版的《代数曲线的分析引论》，首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的「克莱姆法则」（Cramer\'s Rule），即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林（Maclaurin）得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。书中还讨论了马克劳林注意到的一个曲线相交的悖论，给出与欧拉在1748年的相同解释，后人称之为「克莱姆悖论」（Cramer\'s paradox）。此外，他还留下若干数学史笔记，提出应用于数理经济和概率论的「数学效益」概念。

2、Cramer法则的内容 一个条件，三个结论

3、Cramer法则的证明思路

分几步完成？应用了行列式的哪些性质？

4、n阶齐次线性方程组的解有几种情况？无解？有唯一解？有无穷解？

5、n阶齐次线性方程组只有零解的充要条件？n阶齐次线性方程组只有非零解的充要条件？

行列式的历史

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。 早期研究

1545年，卡当在著作《大术》（Ars Magna）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regula de modo）。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。

1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。 莱布尼茨的研究

1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i 行第j 列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。 垂直线记法

矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。 行列式 det(A) 也写作 | A | 或明确的写作： 行列式

即矩阵的方括号以细长的垂直线取代。

编辑本段定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义： 行列式

其中sgn(σ)是排列σ的符号差。

对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线（左上至右下）元素的乘积减去副对角线（右上至左下）元素的乘积（见图中红线和蓝线）。 2阶： 3阶：。 但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n! 项，并不是这样的形式。 二维向量组的行列式

行列式是向量形成的平行四边形的面积

设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量X和X’的行列式是： 经计算可知，行列式表示的是向量X和X ’形成的平行四边形的有向面积。并有如下性质： 行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。 如果以

逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列（如图）。 行列式是一个双线性映射。 三维向量组的行列式

设E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是： 这时的行列式表示X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：

行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。 基底选择

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