高等代数第二章检测题答案

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高等代数第二章检测题答案

一、填空题

1．3，1 2．24 3．( 1)nn! 4．0 5．4，-10，0 1

二、判断题

1．× 2．× 3．× 4．× 5．√

三、计算题

1．Dn (b (n 1)a)(a b)n 1 2．160 3．xy 4．a1a2 an(1 221) n 1ann

四、证明题

1．证明：令f(x) c0 c1x cn 1xn 1

考虑以c0,c1 cn 1为未知数的方程组：f(ai) bi (i 1,2, n) c0 c1a1 c c1a2即 0

c ca1n 0

1

1

1a1a12a2a2 2anan2 c2a12 c2a2 2 c2an a1n 1 a2 n 1 ann 12 cn 1a1n 1 cn 1a2 n 1 cn 1ann 1 b1 b2 bn它的系数行列式为

这是一个范德蒙行列式的转置行列式，且因为a1,a2 an互不相等，所以D 0,根据克莱姆规则，方程组在唯一解，这就是说有唯一的一个次数小于n的多项式式使f(ai) bi (i 1,2 n).

2．证明：（用数学归纳法证）

当n=1时，左=a b, 右=a2 b2 a b a b

所以原式成立，设结果对一切小于n的自然数都成立，证明n时也成立.

将D按第一列展开

ab00 00

1a bab 00D (a b)Dn 1 (a b)Dn 1 abDn 2

1ab

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