1《静力学》内容讲解

奥林匹克物理竞赛专题辅导

第一章 静力学

【竞赛知识要点】重心 共点力作用下物体的平衡 物体平衡的种类 力矩 刚体的平衡 流体静力学（静止流体中的压强） 【内容讲解】

一.物体的重心

1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。

2.重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m的物体划分为质点m1、m2、m3……mn.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)??(xn,yn,zn).那么：

mx0=∑mixi my0=∑miyi mz0=∑mizi 【例题】

1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A、B、C三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C三点受的支持力各是NA、NB、NC，则三力的大小关系是 .

（2）半径为R的均匀球体，球心为O点，今在此球内挖去一半径为0.5R的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O点距离为 .

2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。

3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC（角C为直角）上，切去一等腰三角形APB，如图所示。如果剩余部分的重心恰在P点，试证明：△APB的腰长与底边长的比为

4、（1）质量分别为m,2m,3m??nm的一系列小球（可视为质点），用长均为L的细绳相连，并用长也是L的细绳悬于天花板上，如图所示。求总重心的位置

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5 ：4.

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5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形ABC，试用作图法作出其重心的位置。

6、如图所示，半径为R圆心角为θ的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。

8、求半径为R的厚薄均匀的半圆形薄板的重心

9、均匀半球体的重心问题

10、均匀圆锥体的重心

7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上

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11、如图所示，有一固定的半径为R的光滑半球体，将一长度恰好等于

1?R、质量为m的均匀链2条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。

12、将半径为R的均匀薄壁球壳切成两部分，做成高脚杯，如图所示。已知高脚杯的脚高为h，求高脚杯重心的高度。

二、平衡的种类

平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡

稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，仍能回到原来的平衡位置。

不稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，不能回到原来的平衡位置。

随遇平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后虽不能回到原来的平衡位置，但仍处于平衡状态。

例1、一根质量为m的均匀杆，长为L，其一端可绕固定的水平轴旋转，另一端用劲度系数相同的水平轻弹簧拴住，使其处于竖直位置，如图所示。问弹簧的劲度系数满足什么要求才能使杆处于稳定平衡？

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例2、如图所示，浮子由两个半径为Ｒ的球冠相结合而成，其质量为ｍ１，中心厚度为ｈ（ｈ＜２Ｒ）长为Ｌ、质量为ｍ２的均匀细杆从浮子中心垂直插入，下端恰好到达下球冠表面．细杆的铅垂位置显然是一个平衡位置，试分析平衡的稳定性．

例3、一个不倒翁可以看成两部分组成，一部分是半径为r，底面是球冠的球扇形。球扇形圆锥部分顶角为900，另一部分是一半径为倒翁各部分的质量均匀分布。

（1）如果把不倒翁按倒在水平面上，放手后，不倒翁仍能立起，则重心位置要满足什么要求？ （2）如果把不倒翁放在一个固定的、半径为R的大球面上，只要不倒翁与大球面的接触面为扇形球面，不倒翁就能处于稳定平衡，则重心位置要满足什么要求？

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1r的球挖去恰当的一部分套在球扇形上，两球心重合，如图所示。不2奥林匹克物理竞赛专题辅导

例4、在固定的半径为R的半球体上面放“不倒翁”玩具，玩具的下面是半径为r的球面，已知

R?4r，玩具重心在对成轴上距离最低点为

“不倒翁”的极限倾斜角?r2处，要使“不倒翁”在固定的球面上稳定平衡，求玩具

??

例5、杆AB的重心为C，它的A、B两端分别支在相互垂直的两光滑斜面上而静止，如图所示。试论证该杆的平衡类型。

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