第16讲 揭秘平面向量中几类有趣的三角形问题

第十六讲 平面向量背景下的两类有趣的三角形问题

一、平面向量背景下三角形面积问题 1.三个重要结论

结论1: 向量数量积表示三角形的面积公式：

221a?b?(a?b)2； 2 结论2：定比分点的向量公式: 设A,B,C是直线l上的三个不同点，O为直线l外一点，

在?ABC中，a?BC,b?CA，S?ABC?已知OA?a，OB?b，AC??CB，其中???1,则OC?a??b; 1?? 结论3: 在?ABC所在的平面内有一点P满足p?PA?q?PB?r?PC?0,p、q、r?R?,

则P在?ABC内部，且S?PBC:S?PAC:S?PAB?p:q:r;

(该结论中的系数p、q、r可以推广至全体非零实数，面积比为系数绝对值的比) 二、平面向量背景下的三角形“五心”问题 1.三角形“五心”的介绍

重心——三角形中线的交点； 垂心——高所在直线的的交点；

内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）；

旁心——三角形一个角的内角平分线与另两个外角角平分线的交点(共有三个) . 2.五个重要结论

已知?ABC，AB?c,CB?a,CA?b,则有以下结论成立：

结论4：GA?GB?GC?0?PG?(PA?PB?PC)?G是?ABC的重心； 结论5：HA?HB?HB?HC?HC?HA?H为?ABC的垂心； 结论6：aIA?bIB?cIC?0?I为?ABC的内心；

结论7：OA?OB?OC?(OA?OB)?AB?(OC?OB)?CB?(OC?OA)?CA?O

为?ABC的外心；

结论8：（1）aIA?bIB?cIC?0?I为顶点B对应的旁心 ； （2）?aIA?bIB?cIC?0?I为顶点A对应的旁心 ； （3）aIA?bIB?cIC?0?I为顶点C对应的旁心 . 3.三角形的五心坐标公式

结论8: 已知?ABC三个顶点坐标分别为A?xA,yA?,B?xB,yB?,C?xC,yC?，

13 AB?c,CB?a,CA?b,则三角形的五心坐标公式分别如下：

xA?xB?xCyA?yB?yC,) ；

33ax?bxB?cxCayA?byB?cyC(2) 内心I(A,) ；

a?b?ca?b?cxtanA?xBtanB?xCtanCyAtanA?yB?ytanCBtanC(3) 垂心H(A,)(非直角

tanA?tanB?tanCtanA?tanB?tanC(1) 重心G(三角形) ；

xAsin2A?xBsin2B?xCsin2CyAsin2A?yBsin2B?yCsin2C,)；

sin2A?sin2B?sin2Csin2A?sin2B?sin2C?axA?bxB?cxC?ayA?byB?cyC(5) 旁心IA(类似的，可,)(顶点A对应的旁心，

a?b?ca?b?c(4) 外心O(知另两个旁心坐标)(五心坐标也有三角函数的向量形式) ；

结论9: 在?ABC中,O、G,H分别三角形的外心、重心、垂心，则GH?2OG; (其中 O、G,H所在的直线称为欧拉线) .

二、解题指导

1.在边长为1的等边三角形ABC中,P1,P2,Pn?1是BC从左至右上的n等分点，且满足

?n?1??n?1? 对于一切i(1?i?n?1,i?N,n?2)，都有APi?aiAB?biAC，求??ai????bi?.

?i?1??i?1? 变式：计算：AB?AP1?AP1?AP2?

2.已知P为内一点,且满足2PA?3PB?4PC?0,则S?PBC:S?PAC:S?PAB等于多少?P点位置如 何确定？

?APn?1?AC.

3.P为?ABC所在平面内一点，并且AP?之比等于？

12AB?AC,则?ABP的面积与 ?ABC的面积5556aGA?40bGB?35cGC?0 4.G为?ABC的重心，三内角?A,?B,?C的对应边为a,b,c，

则?B等于多少？

5.在?OAB中，M,N分别为OA,OB上点，AN,BM交于Ｇ，且OG?OA?OB，P,Q分别是OA,OB上的点，且P,G,Q三点共线，?OAB,?OPQ,面积分别为S,T；

1313(1)若OP?p?OA,OQ?qOB，求证:

11??3； qp(2)求证：

41S?T?S. 926.已知?ABC的外接圆的圆心为O，重心为G，若OH?OA?OB?OC， (1)证明：H是?ABC的垂心；

(2)求证：O,G,H三点共线，且OG:HG?1:2.

7.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若

OA?BC?OB?CA?OC?AB，证明：O是?ABC的垂心.

8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

222222OP?OA??(AB?AC)，???0,???，证明：当?变化时，点P的轨迹一定通过?ABC的重心.

9.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(ABAB?ACAC证明：当?变化时，点P的轨迹一定通过?ABC???0,??? ，)，

的内心.

10.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(ABABcosB?ACACcoCs)，???0,??? ，证明：当?变化时，点P的轨迹

一定通过?ABC的垂心.

三、习题演练 1.在三角形?ABC边上做匀速运动的三个点P,S,R,当t?0时,分别A、B、C从出发,当t?1 时 ,恰好同时到达B、C、A,那么,这个运动过程中定点是?PQR的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

2.设G,H分别为?ABC的重心、垂心，F为线段GH 的中点，?ABC外接圆的半径R?1， 则AF?BF?CF等于多少？

3.已知 P,A,B,C是不共线的四点，若存在一组实数p,q,r，

使得p?PA?q?PB?r?PC?0，则三个角?APB,?APC,?CPB至少有一个钝角？

4.在?ABC中，若

222AB?BCBC?CACA?AB??，则tanA等于多少? 3215.G为?ABC的重心，三内角?A,?B,?C的对应边为a,b,c,且aGA?bGB?则?A等于多少?

6.已知O为锐角?ABC的外心，且?A??，若

7.已知O为锐角?ABC的外心，且AB?6,AC?10,，若AO?xAByA?C求cos?BAC.

3cGC?0, 3cosBcosCAB?AC?2mAO，求m. sinCsinB0y5?，，且2x?1

8.如图，在?ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线AB,AC分别交直线于不同的两点

M,N，若AB?mAM,AC?nAN，求m?n.

9.已知C为线段AB上一点，P在直线AB外一点，满足PA?PB?2，PA?PB?25 PA?PCPA?PB?PCPB，I为PC上一点，且BI?BA??(ACAC?APAP)(??0)，求

BI?BABA的值.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第16讲 揭秘平面向量中几类有趣的三角形问题在线全文阅读。