行程 - 发车间隔 - 接送和扶梯问题(3)

千米/小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】

车乙1x甲x-1

行车路线如图所示，设甲、乙两班步行的路程为1，车开出x后返回接乙班． 由车与乙相遇的过程可知：?因此，车开出42?366??2小时． 45515xx?1，解得x?6， ?457561?36千米后，放下甲班回去接乙班，甲班需步行42??6千米，共用6?16?1【答案】2小时

【例 10】 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发

的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车时车速为每小时50公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，

因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长．如图所示，

图中A是学校，B是少年宫，C是第一班学生下车的地点，D是第二班学生上车的地点．由上所述AD和CB一样长，设第一班同学下车时，第二班同学走到E处．由于载学生时车速为每小时40公里，而步行的速度为每小时4公里，是车速的1/10，因而AE是AC的1/10．在第一班学生下车后，汽车从C处迎着第二班学生开，车速是每小时50公里，而第二班学生从E处以每小时4公里的速度向前走，汽车和第二班学生在D点相遇．这是普通的行程问题，不难算出ED是EC的

419491.由于EC是AC的1-=，可见ED是AC的??．这样AD就541010541015

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是AC的

【答案】

17

1111111??．又AD=CB，AD就是AB的?(1?)?，故第一班学生步行了全程的． 101566677【巩固】 （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）甲、乙二人由A地同时出发朝向B地前进，A、B两

地之距离为36千米．甲步行之速度为每小时4千米，乙步行之速度为每小时5千米．现有一

辆自行车，甲骑车速度为每小时10千米，乙骑车的速度为每小时8千米．出发时由甲先骑车，乙步行，为了要使两人都尽快抵达目的地，骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续骑．请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设甲骑车至离A地x千米处后停车，且剩余(36?x)千米改为步行，则乙步行了x千米后，剩余

(36?x)千米改为骑车．因要求同时出发且尽速抵达目的地，故花费的时间应该相同，

因此可得：

x36?xx36?x，解得x?20． ???104582036?20??6小时． 104故共花费了

【答案】6小时

【例 11】 (第八届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)A、B两地相距120千米，已知人的步行速度是

每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？(保留—位小数)

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题实际上是一个接送问题，要想使所用的时间最少，三人应同时到达．假设这三人分别为

甲、乙、丙．由于摩托车只可同时带两个人，所以可安排甲一直骑摩托车，甲先带乙到某一处，丙则先步行，甲将乙带到后再折回去接丙，乙开始步行，最后三人同时到达．要想同时到达，则乙与丙步行的路程和乘车的路程都应相等．如下图所示．

甲丙ADC乙B

由于丙从A从走到D的时间内甲从A到C再回到D，相同的时间内二者所行的路程之比等于速度的比，而两者的速度比为50:5?10:1，所以DC?

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10?1AD?4.5AD，全程2AB??4.5?1?1?AD?6.5AD，所以从A地到B地所用的时间为：

120?15.5372?5?120??50??5.7(小时)． 6.56.565【答案】5.7小时

【巩固】 两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带20桶汽

油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲乙两车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进， 每车最多能带20桶汽油（连同

油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点。为了使一辆车（例如甲车）尽可能地远离出发点，则甲、乙车同行，各耗掉a桶油时，乙车停下，并把甲车加满油（恰好加a桶），还需留下2a桶油供甲车返回到此地时补给甲（a桶）和自己（a桶）供返回原地时用所以乙车20桶=4a，a=5桶即甲车共向乙车最多借2a=10桶油 所以甲车最远可达到离出发点（10+20）*60/2=900千米远的地方必须返回

【答案】900千米

三、 扶梯问题

【例 12】 小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，

那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 电梯每秒完成

11111，电梯加小明徒步上楼每秒完成，小明徒步上楼每秒完成??，所30121230201?20(秒). 20以小明徒步上楼需1?【答案】20秒

【巩固】 如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆

着向下走需24秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多

少秒？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答

1111【解析】 小明徒步走的速度是(?)?2?，所以小明徒步上楼需1??16(秒).

12241616

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【答案】16秒

【例 13】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一

级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有 级台阶．

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 小强每秒走一阶，需要20?1?20秒；每秒走2阶，需要30?2?15秒．

设电梯每秒钟需要走x阶，由电梯长度可得：20?(1?x)?15?(2?x)，解得x?2． 那么扶梯长度为20?(1?2)?60（阶）．

本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：

“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯20?15?5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2?15?1?20?10阶，电梯的速度为10?5?2阶/秒，扶梯长度为20?(1?2)?60（阶）．

【答案】60阶

【巩固】 小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；

如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2008年，台湾小学数学竞赛，决赛 【解析】 首先从题中可以看出两种情况下小丁的速度是不相同的，否则两次走过的阶数之比为1:2，

时间之比也应该为1:2才对．

既然小丁的速度有变化，那么应该考虑其中的不变量，也就是电扶梯的速度不变．假设这座

电扶梯有x阶，那么在第一种情况下电扶梯走了(x?14)阶，第二种情况下电扶梯走了(x?28)阶，根据电扶梯的速度相同可得

即这座电扶梯有49阶．

【答案】49阶

【例 14】 在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级

x?14x?28，解得x?49． ?3018台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 ．

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【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题要知道向上与向下的时间之比(即是电梯运行时间的比)，可用量化思

想．

12090:?60:90?2:3，设该自动楼梯从底到顶的台阶数为x级，自动楼梯的速度为y级/21?x?2y?120?x?108，解得?．即该自动楼梯从底到顶的台阶数为108级．

y?6x?3y?90??单位时间．则有：?【答案】108级

【巩固】 自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上．问该扶梯露在外面的部分共有多少级？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答

111【解析】 男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的??，相差20?15?5级，因此自动扶梯露在外

5630面的部分共有5?1?150级． 30【答案】150级

【例 15】 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要

走36级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走60?5?12(级)．而下楼走了36级，所以下楼用的时

间是上楼时间的36?12?3(倍).

设小淘气上楼的时间自动扶梯走了x级，则下楼的时间内自动扶梯走了3x级．

根据自动扶梯的级数可列方程：36?3x?60?x，解得x?6(级)， 自动扶梯有60?x?54(级)．

【答案】54级

【巩固】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的

并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 首先，由于第一种情况下甲往下走时走的总台阶数是第二种情况下的60?80?3，也就是说在434相同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的，

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