习 题 一
x011. 设f(x)＝0x0，求f(x)＝0的根.
?10x解 因f(x)?x(x2?1), 所以，在R上f(x)有一个根x?0,在C上f(x)有三个根x1?0，x2?i，x3??i.
2. 少？
解
排列1 (k＋1) 2 (k＋2) … (k?1) (2k?1) k (2k)的反序数是多
1k(k?1). 21n(n?1)?k. 23. 若? (i1i2 … in )＝k，则? (inin?1 …i2 i1)＝? 解 ?(inin?1?i2i1)?4. 讨论排列n(n?1) … 21的奇偶性.
1n(n?1),所以当 n?4k时为2偶排列; 当n?4k?1时为偶排列; 当 n?4k?2 时为奇排列; 当n?4k?3时为奇排列.
解 因为 ?(n(n?1)?21)?5. 若n阶行列式| aij |＝?a，则| ?aij |＝?
n?1解 ?aij?(?1)a.
6. 用行列式定义计算
1
10(1)
0000000??0?0?302000
000??????01999?0200000(2)
?0??a2???a10?0
0??an??0?0a1n0?a2,n?1a2n(3)
????an1?an,n?1ann1n(n?1)2解 ⑴ ?2000! ⑵ (?1) ⑶ (?1)1n(n?1)2a1a2?an
a1na2,n?1?an1
1007. 构造一个三阶行列式D＝| aij |，其中aij全不为零，但D＝1.
解 提示:利用行列式的性质,可将行列式010 化为每个001221元素都不等于零,比如 D=121.
1118. 设
2
x1121x1?1f (x) ＝
32x1112x1不计算行列式，求展开式中x3的系数.
解 ?1 .
9. 若n(>2)阶行列式D的元素都是1或－1,证明D是一个偶数. 证明 该n(>2)阶行列式的每个项(连同符号)等于1或者－1, 且一共有偶数个项, 故等于1的项的个数与等于－1的项的个数之差是偶数.因此D是一个偶数.
10. 根据性质计算下面的行列式
11(1) 11200a1030ax?aa?ayx000y00????aa?a??? ?100 n???aaa?
?????1x?a(2)
a?ax00yx?a??x?a00x000yx(3) ? ?????
3
1?a1a1(4)
a21?a2a2?a2na3a3?a3???ananan?
a1?a11?a3??1?an11i?.(提示:将第列的元素乘以后加到第1)?iii?2列的对应元素上(i?2,3,?,n)) .
解 ⑴ n!(1? ⑵?x?(n?2)a?(x?2a)n?1. ⑶xn?(?1)n?1yn. ⑷ (1?n?a).
ii?111. 设n阶行列式
a11D＝
a12??a1n??
a21?an1a22?a2nan2?ann中元素aij都是整数，证明D也是整数.
证明 因为D=
?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn 且每个元素aij都是整数, 所以D为整数.
12. 已知143，247，325都是13的倍数，不用计算，证明
143247也是13的倍数. 325证明 将第1列乘100 加到第3列对应的元素上;第2列各元
4
素乘以10 加到第3列对应的元素上,再按第3列展开, 可知结论成立.
13. 把行列式
10?1?10?1?11D＝
?1?110abcd依第四行展开加以计算
解 D=?3a?b?2c?d. 14. 设阶行列式
a11D＝
a12??a1n??
a21?an1a22?a2nan2?ann中元素都是整数，且D＝1，证明D的每一列元素，每一行元素都是互素的.
证明 用反证法. 假设第i行的元素不互素, 则可设k(?1)是第i行的公因数,于是 D?kD1?1. 其中D1的元素全为整数. 所以
D1?1 .这与D1是整数矛盾. k1?a11D n＝
15. 用数学归纳法证明
1?11???11?111?11?an
1?a2??11?1?an?1 5
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