微积分试题及答案

一、选择题(每题2分)

1、设??x?定义域为（1,2），则??lgx?的定义域为（） A、（0,lg2）

B、（0，lg2?

C、（10,100） D、（1,2）

x2?x2、x=-1是函数??x?=的（）

x?x2?1?A、跳跃间断点 3、试求limA、?4、若

B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点

2?x?4等于（）

x?0x1 B、0 C、1 D、? 4yx??1，求y?等于（） xyA、

2x?yy?2x2y?xx?2y B、 C、 D、

2x?y2y?x2y?x2x?y2x的渐近线条数为（） 21?x5、曲线y?A、0 B、1 C、2 D、3 6、下列函数中，那个不是映射（）

A、y?x (x?R,y?R) B、y??x?1

2C、y?x D、y?lnx (x?0)

2??22二、填空题（每题2分） 1、y=11?x2fx)?mil、设 （的反函数为__________2、

(n?)1x，则() fx的间断点为__________

x??nx2?1x2?bx?a?5，则此函数的最大值为__________ 3、已知常数 a、b,limx?11?x4、已知直线 y?6x?k是 y?3x的切线，则 k?__________ 5、求曲线 xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）

2x2是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 1、函数y?1?x23、若lim???，就说?是比?低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) ?5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )

sin1x四、计算题（每题6分）1、求函数 y?x1 的导数 2、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy

23、已知x2?2xy?y3?6，确定y是x的函数，求y? 4、求limtanx?sinx 2x?0xsinxdxx2(cosx)5、计算? 6、计算lim ?3x?0（1?x)x五、应用题

1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x)?100x?x2，总成本函数为C(x)?200?50x?x2，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数y?x?211的图形（12分） x1x六、证明题（每题6分）

f()?A 1、用极限的定义证明：设limf(x)?A,则lim?x???x?02、证明方程xex?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数

一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题

1、x?0 2、a?6,b??7 3、18 4、3 5、x?y?2?0 三、判断题

1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、

y??（x?（e

sin1x)?)?

1sinlnxx1111???ecos(?2)lnx?sin??xxxx??1sin1111x?x(?2coslnx?sin)xxxx1sinlnxx2、

dy?f?(x)dx112x?(arctanx?x?)dx22 1?x21?x?arctanxdx3、 解：

2x?2y?2xy??3y2y??02x?3y?y??22x?3y

?y???4、

解：

2)2(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)(2x?3yx2?当x?0时，x?tanx?sinx,1?cosx?212xxtanx(1?cosx)12?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx25、

解：

令t=6x,x?t6dx?6t5原式??（1?t2)t3t2?6?1?t2t2?1?1?6?1?t21?6?(1?)21?t?6t?6arctant?C?66x?6arctan6、 解：

6

x?C1 原式?lime?x?0x2lncosx?ex?0?lim1x2lncosx其中：1lncosx2x?0xlncosx?lim 2x?0?x1(?sinx)cosx?limx?0?2x?tanx1?lim??x?0?2x2lim??原式?e五、应用题

1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为L(x)

?12L(x)?R(x)?C(x)?ax?100x?x2?(200?50x?x2)?ax??2x2?(50?a)x?200L?(x)??4x?50?a50?a令L?(x)?0,得x?,此时L(x)取得最大值

4a(50?a)税收T=ax?41T??(50?2a)41令T??0得a?25T?????02?当a?25时，T取得最大值2、 解：

D????，0???0,???间断点为x?0y??2x?1x2132

令y??0则x?y???2?2x3令y???0则x??1x y? (??,?1) ?1 (?1,0) 0 ?1??0,3? 2??? 1 320 1(3,??) 2? ? ? ? y?? y 渐进线：

? ↘ 0 拐点 ? ↘ 无定义 ? ↘ ? 极值点 ? ↗ limy???y无水平渐近线x??x?0limy?0?x?0是y的铅直渐近线yx?1lim?2???y无斜渐近线x??xx3

图象

六、证明题

1、 证明：

?limf(x)?Ax??????0,?M?0当x?M时，有f(x)?A??111?0，则当0?x?时，有?MMMx1?f()?A??x1即limf()?Ax??x取?=2、

证明：

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