高中《代数》上册教材及

高中《代数》上册教材及 《教参》中数例的商榷

俞书华

众所周知，教材是教师与学生教与学的重要依据，因此，教材应具有的科学性与严密性。现就人教版高中数学（必修）《代数》上册及《参考》（以下称课本）中，几处值得商榷，教学中值得注意的地方，举例说明如下，供参考。

例1求下列函数的定义域、值域： （1）y?312?x1 （2）y?0.74

[课本第64页习题五第2题（2）、（4）]

参考书第58页提供的值域答案均为{y/y?R?}以上答案是错误的。 由于

11及均不为0，故值域均应为{y/y?R?且y?1}。 4x2?x11?x2f()??f(x)。 例2设f(x)，求证：2x1?x[课本第70页复习参考题第10题（2）] 参考书第64页提供的解法是：

121?()1? 1x??f()?12x1?()1? x1x21x2x2?11?x2?2????f(x).2x?11?x1）无意义。x此题条件不充分，事实上，当x=0时，f(x)有意义，且f（0）=1，而f（建议在本题中，应加上“x≠0”方才严密。

例3用sec?来表示?的其它各三角函数。 [课本第105页习题七第13题（2）] 参考书第117页提供了解答： cos?=

1 tg?=?sec2??1（? 在第一、三象限时取正号，? 在第二、四象限时取负sec?号，以下各式同）

ctg?=

1?sec??12，

?sec2??1sin?=

sec?

csc?=

sec??sec??12

此题条件不充分，事实上，当?=k?(k??)时，sec?=±1，而ctg?不存在。 建议在本题中，应加上?≠kπ(k?z)方才严密。

例4设tga、tg?是一元二次方程?x2?bx?c?0(a?0,b?0)的两个根，求ctg(a+?)的值。 [课本第170页例3] 课本上的解法是：

2?x?bx?c?0中，??0，由一元二次方程与系数的关系得： 在一元二次方程

b actga?tg???

atga?tg???而ctg(a??)?11?tga·ta??

tg(a??)tga?tg?由题设， ， 故 tga ? tg ? ? 0 代入，得 b ? 0ctg(a??)?1?(c/a)a?cc?a??

?(b/a)?bb以上解法虽然结果是对的，但求解过程中，是在a≠c的情况下进行的。事实上，当

ctga.tg???1，tg(a??)a=c时， 不存在，根本就没有什么倒数可求而

actg(a??)的值也决不是从

1中求得的，对于此情况，课本上没有作出必要的说

4g(b??)明。

建议在解本题时，分两种情况 当a≠c时，按课本上的解法 当a=c时，从tga.tg?=1，可得tga?而得ctg(a??)?ctg(k??)?0

但无论a≠c与a=c都可以用一个公式ctg(a??)?

——本文发表于《中学数学教学》

x1x?ctg??tg(??)因此，a?k????(k?z)，从

2tg?2x2(c?a)来表示。 b

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