从问题到程序--裘宗燕--课后习题部分答案（第七章）

1． 创建符号表达式f?x??sinx?x。 参考答案：

>> f = sym('sin(x)+x');

2. 计算习题 1 中表达式在x??/6处的值，并将结果设置为以下 5 种精度：小数点之后 1 位、2 位、5 位、10位和20位有效数字。

参考答案： >> digits(1) >> vpa(subs(f,x,pi/6)) ans = 1.

>> digits(2) >> vpa(subs(f,x,pi/6)) ans = 1.0 >> digits(5) >> vpa(subs(f,x,pi/6)) ans = 1.0236 >> digits(10) >> vpa(subs(f,x,pi/6)) ans = 1.023598776

3．设x为符号变量，f?x??x?x?1，g?x??x?4x?5x?8，试进行如下运

4232算：

（1）f?x??g?x? （2）f?x??g?x? （3）求g?x?的反函数

（4）求g以f?x?为自变量的复合函数 参考答案：

>> f = sym('x^4 + x^2 + 1'); >> g = sym('x^3 + 4*x^2 + 5*x + 8'); （1） >> f+g ans =

x^4+5*x^2+9+x^3+5*x （2） >> f*g ans =

(x^4+x^2+1)*(x^3+4*x^2+5*x+8) （3） >> finverse(g)

Warning: finverse(x^3 + 4*x^2 + 5*x + 8) is not unique. >> In sym.finverse at 43 ans =

1/6*(-656+108*x+12*(2988-984*x+81*x^2)^(1/2))^(1/3)+2/3/(-656+108*x+12*(2988-984*x+81*x^2)^(1/2))^(1/3)-4/3 （4） >> syms x >> compose(g,f,x) ans =

(x^4+x^2+1)^3+4*(x^4+x^2+1)^2+5*x^4+5*x^2+13

4．合并同类项

（1）3x?2x2?5?3x2?2x?5

（3）2x2?3xy?y2?2xy?2x2?5xy?2y?1（对x和y） 参考答案： （1）

>> f = sym('3*x - 2*x^2 + 5 + 3*x^2 - 2*x -5'); >> collect(f) ans = x+x^2 （2）

>> f = sym('2*x^2 - 3*x*y + y^2 - 2*x*y - 2*x^2 + 5*x*y - 2*y + 1'); >> collect(f) ans = y^2-2*y+1

5．因式分解

（1）将 7798666 进行因数分解，分解为素数乘积的形式 （2）-2m+512

（3）3a(x-y)-4b(y-x)

23228参考答案： （1）

>> factor(sym('779866')) ans =

(2)*(149)*(2617) （2）

>> factor(sym('-2*m^8 + 512')) ans =

-2*(m-2)*(m+2)*(m^2+4)*(m^4+16) （3）

>> factor(sym('3*a^2*(x-y)^3 - 4*b^2*(y-x)^2')) ans =

(x-y)^2*(3*a^2*x-4*b^2-3*a^2*y)

6．绘制下列函数的图像

（1）f?x??sinx?x，?0,2??

2（2）f?x??x?2x?1，??2,2?

32参考答案： （1）

>> f = sym('sin(x) + x^2'); >> ezplot(f,[0,2*pi]); （2）

>> f = sym('x^3 + 2*x^2 + 1'); >> ezplot(f,[-2 2]);

7．计算下列各式

（1）limtanx?sinx1?cos2x32x?0

（2）y?x?2x?sinx，求y?

2（3）y?xyln?x?y?，求?f/?x，?f/?y，?f/?x?y

（4）y??ln(1?t)dx，y??270ln(1?t)dx

参考答案： （1）

>> limit(sym('(tan(x) - sin(x))/(1-cos(2*x))')) ans = 0 （2）

>> y = sym('x^3 - 2*x^2 + sin(x)'); >> diff(y) ans =

3*x^2-4*x+cos(x) （3）

>> f = x*y*log(x+y); >> fx = diff(f,x) fx =

y*log(x+y)+x*y/(x+y) >> fy = diff(f,y) fy =

x*log(x+y)+x*y/(x+y) >> f2xy = diff(fx,y) f2xy =

log(x+y)+y/(x+y)+x/(x+y)-x*y/(x+y)^2 （4） >> syms t >> y = log(1+t); >> int(y) ans =

log(1+t)*(1+t)-t-1 >> int(y,0,27) ans =

56*log(2)+28*log(7)-27

8．计算下列各式

?3?（1）???

n?1?n???n（2）?2nsinn?1?3n

（3）sinx在 0 附近的Taylor 展开 参考答案： （1）

>> symsum(sym('(3/n)^n'),1,inf) ans =

sum((3/n)^n,n = 1 .. Inf) （2）

>> symsum(sym('2^n*sin(pi/(3^n))'),1,inf) ans = 3^(1/2)

（3）

>> taylor(sym('sin(x)')) ans =

x-1/6*x^3+1/120*x^5

?2x?3y?19．求解线性方程组?

3x?2y??1?参考答案：

>> [x,y] = solve(sym('2*x+3*y=1'),sym('3*x+2*y=-1')) x = -1 y = 1

10．对符号表达式z?xe?x?y22，进行如下变换

（1）关于x的傅立叶变换

（2）关于y的拉普拉斯变换 （3）分别关于x和y的 Z 变换 参考答案： （1） >> syms x y

>> z = x*exp(-(x^2+y^2)); >> syms u v >> fourier(z,x,u) ans =

-1/2*i*pi^(1/2)*u*exp(-y^2-1/4*u^2) （2）

>> laplace(z,y,v) ans =

1/2*x*exp(-x^2)*pi^(1/2)*exp(1/4*v^2)*erfc(1/2*v) （3） >> ztrans(z,x,u) ans =

-u*diff(ztrans(exp(-x^2-y^2),x,u),u) >> ztrans(z,y,v) ans =

x*ztrans(exp(-x^2-y^2),y,v) 11．绘制函数f?x??参考答案： >> syms x y

12?exp??x?y2?2??在?3?x?3，?3?y?3上的表面图

>> z = 1/(2*pi)*exp(-(x^2+y^2)); >> ezsurf(x,y,z,[-3,3,-3,3]);

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