同济大学（高等数学）第十章重积分 - 图文

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且f?x,y??0所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,,??n,

1

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

?ξ1,η1?, ?ξ2,η2?, , ?ξn,ηn? 对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f(ξi，ηi)而底为Δσi的平顶柱体的体积来近似代替.

(3)这n个平顶柱体的体积之和

?f(?,?)??iii?1ni

就是曲顶柱体体积的近似值.

(4)用λ表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值，即λ?maxd?Δσi?.当λ?0 (可理解为Δσi1?i?n收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：

V?lim?f(?i,?i)??i.

??0i?1n1.1.2 平面薄片的质量

设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点(x，y)处的面密度是ρ?ρ(x,y).设

?(x,y)?0且在D上连续，求薄片的质量(见图10-3).

图10-3

先分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,,??n

在每个小闭区域上任取一点

?ξ1,η1?, ?ξ2,η2?, , ?ξn,ηn?

近似地，以点(ξi,ηi)处的面密度ρ(ξi,ηi)代替小闭区域Δσi上各点处的面密度，则得到第i块小薄片的质量的近似值为ρ(ξi,ηi)Δσi，于是整个薄片质量的近似值是

??(?,?)??iii?1ni

用λ?maxd?Δσi?表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值，当D无限细分，即当λ?0时，

1?i?n上述和式的极限就是薄片的质量M，即

M?lim?ρ(ξi,ηi)Δσi.

λ?0i?1n以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.

定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z?f(x,y)在D上有界.将D分为n个小区域

2

??1,??2,,??n

同时用Δσi表示该小区域的面积，记Δσi的直径为d?Δσi?，并令λ?maxd?Δσi?.

1?i?n在Δσi上任取一点(ξi,ηi), (i?1,2,,n)，作乘积

f?ξi,ηi?Δσi

并作和式

Sn??f(ξi,ηi)Δσi.

i?1n若λ?0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点(εi,ηi)的取法)，则称这个极限值为函数z?f(x,y)在D上的二重积分，记作??f(x,y)d?，即

D?f(?,?)Δ???f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni， (10-1-1)

其中D叫做积分区域，f(x,y)叫做被积函数，dσ叫做面积元素，f(x,y)dσ叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，?f(ξi,ηi)Δσi叫做积分和.

i?1n在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线(y=常数和x=常数)把区域D分割成

小矩形，它的边长是?x和Δy，从而Δσ?Δx?Δy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d??dx?dy，二重积分也可记作

?f(?,?)????f(x,y)dxdy?lim?D?0iii?1ni.

有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函

数z?f(x,y)在区域D上的二重积分

V???f(x,y)d?；

D薄片的质量M是面密度ρ?ρ(x,y)在区域D上的二重积分

M????(x,y)d?.

D

因为总可以把被积函数z?f(x,y)看作空间的一曲面，所以当f(x,y)为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f(x,y)为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果f(x,y)在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.

如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称f(x,y)在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果f(x,y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f(x,y)在D上可积.

我们总假定z?f(x,y)在闭区域D上连续，所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.

1.1.3 二重积分的性质

设二元函数f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.

3

性质1 常数因子可提到积分号外面.设k是常数，则

??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?.

DD性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即

???f(x,y)?g(x,y)?d????f(x,y)d????g(x,y)d?.

DDD

性质3 设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.

例如D分为区域D1和D2(见图10-4)，则

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?. (10-1-2)

DD1D2图10-4

性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.

性质4 设在闭区域D上f(x,y)?1，σ为D的面积，则

??1d????d???.

DD从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.

性质5 设在闭区域D上有f(x,y)?g(x,y)，则

??f(x,y)d????g(x,y)d?.

DD由于 ?f(x,y)?f(x,y)?f(x,y) 又有

??f(x,y)d????DDf(x,y)d?.

这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.

性质6 设M、m分别为f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有

m????f(x,y)d??M?.

D上述不等式是二重积分估值的不等式.因为m?f(x,y)?M，所以由性质5有

??md????f(x,y)d????Md?，

DDD即 m????md????f(x,y)d????Md??M?.

DDD性质7 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)使得

??f(x,y)d??f(?,?)??.

D 4

这一性质称为二重积分的中值定理. 证 显然??0.

因f(x,y)在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D上必存在一点?x1,y1?使f?x1,y1?等于最大值M，又存在一点(x2,y2)使f(x2,y2)等于最小值m，则对于D上所有点(x,y)，有

m?f?x2,y2??f?x,y??f?x1,y1??M.

由性质1和性质5，可得

m??d????f(x,y)d??M??d?．

DDD

再由性质4得

m????f(x,y)d??M?，

D或

m?1???f(x,y)d??M．D

根据闭区域上连续函数的介值定理知，D上必存在一点(ξ,η)，使得

1?即

??f(x,y)d??f(?,?)，

D??f(x,y)d??f(?,?)?， (ξ,η)?D.

D

证毕.

二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：

当S:z?f(x,y)为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D为底，以D内某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η)为高的平顶柱体，它的体积f(ξ,η)?σ就等于这个曲顶柱体的体积.

习题10—1

1.根据二重积分性质，比较??ln(x?y)d?与???ln(x?y)?d?的大小，其中

D2D(1)D表示以、、为顶点的三角形； （1,1）（0,1）（1,0）(2)D表示矩形区域??x,y?|3?x?5,0?y?2?. 2.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)??a?x2?y2d?，D?{?x，y?|x2?y2?a2}；

D??(2)??a2?x2?y2d?，D?{?x，y?|x2?y2?a2}.

D13.设f?x,y?为连续函数，求lim2r?0πr??f(x,y)d?,

D22D?{?x,y?|?x?x0???y?y0??r2}.

4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：

0?y?2}； (1)I???4+xyd?，D?{?x，y?|0?x?2，D 5

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