第三章历年试题解答

线性代数(经管类)第三章历年试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ） A．0 C．2

B．1 D．3

答案 ：C

2．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t2+1）线性相关，则实数t=（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B

3．设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（ ） A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式 C．A中的3阶子式都不为0 D．A中存在不为0的3阶子式 答案：D

4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（ ） A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量 B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例

C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 答案：C

5.设?可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中?只能是

A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 答案：B

6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s?2)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量

C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 答案：C

7．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A．α1，α2，…，αs均不为零向量

B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例 C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关

D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

1

答案：D

8.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么（ ） A. ?1,?2,?3,?4线性无关 C. ?1可由?2,?3,?4线性表示 答案：B

9.向量组?1,?2,??s的秩为r，且r

B. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关 C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关 D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关 答案;C

10．设向量α1?(a1,b1,c1),α正确的是（ ）

A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关 B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关 C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关 D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关 答案：B

11．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关

D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关

2B. ?1,?2,?3,?4线性相关 D. ?3,?4线性无关

?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1,d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中

D答案：C

12．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是（ ） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 C．?1,?2,?,?s全是非零向量 答案：B

2

B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量

13.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则（ ） A.?1，?3线性无关 B.?1，?2，?3，?4线性无关 C.?1，?2，?3，?4线性相关 D.?2，?3，?4线性相关 答案：A

14．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示

法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（ ） A．1

B．2

C．3 D．4 答案：C

15．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中（ ） A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 答案：A

16.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 答案：C A.1 C.3

答案：C

18.下列命题中错误的是（ ） ．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 答案：C

19.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 答案：D

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 C.6

B.-6 D.12

B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出

D. α1，α2，α3一定线性无关

17.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ）

B.2 D.4

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关

B.α1，α2，α3，α4线性相关

3

C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

20.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________. 答案：2

21．设向量α1=（1，1，1）T，α2=（1，1，0）T，α3=（1，0，0）T，

β=（0，1，1）T，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为_____________.

?1?解：因为?1?1?1101000??0??1???0?11???010100?1??1??0???0?01???0100011??0? ?1??所以???1??3

22．已知α1-5α2+2α3=β，其中α1=（3，4，-1），α2=（1，0，3），β=（0，

2，-5），则α3=____________. 答案;?1，?1，?

?2??11???1?23．矩阵A=?1?1?0??3?的行向量组的秩6???____________.

答案;2

24．已知向量组α1=（1，1，1）， α2=（1，2，0），α3=（3，0，0）是R3的一组基，则向量 β=（8，7，3）在这组基下的坐标是____________.

?1?解：因为?1?1?1203008??0??7???0?13???1103005??0??2???0?13???0101001??1??2???0?03???0100013??2? 1??所以??3?1?2?2??3

25．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________. 答案：?12

26.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_________. 答案：2

27．向量空间V={x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数}的维数为_______________. 答案：2

4

?1??1??t???????28.已知向量组α1=?1?，α2=??2?,α3=?1???2??1??1???????的秩为2，则数t=______________.

答案：?2

?1?因为?1??2?1?21t??1??1???0?01???1?33??1??1?t???0?01?2t???t1?30??1?t?秩为2 2?t??t所以2?t?0,即t??2

29.设有向量?1=（1，0，-2），?2=（3，0，7），?3=（2，0，6）. 则?1,?2,?3的秩是___________.

答案：2

30．已知向量组α?1??0????,α0?2????0??1????,α5?0???????t??2?1?的秩为2，则数t= __________. ?2?4??123答案;3 ?1??0因为?0??2?01502??1??1??0??0t?2?????04??1201002??1?秩为2，则数t=3 t?3??0??31．设向量α?(2,?1,,1),则α的长度为 __________. 答案：

52

3

32．设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β

等价，则向量组β1，β2，β3的秩为 __________. 答案：3

145633?0 3等价的向量组的秩相等，且2333．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________. 答案： （?4,0，?5，?9）34.设向量组?1=（a,1,1）,?2=（1,-2,1）, ?3=（1,1,-2）线性相关，则数a=________. 答案：-2

5

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