南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次调研测试数(3)

若不存在正实数x0，使得g2(x0)?0，则g2(x≤)立． ???8分

假设存在正实数x0，使得g2(x0)?0，则有f(x0)?0，

恒0成

由题意，当x?0时，g2?(x)≥0，可得g2(x)在(0， ??)上单调递增， f(x≤；) 分

当x?xf(x)x0)f(x0)0时，

x2?f(x2恒成立，即f(x)?0x2?x2恒成立，

0 故必存在xf(x0)21?x0，使得f(x1)?x2?x1?m（其中m为任意常数），

0 这与f(x)?c恒成立（即f(x)有上界）矛盾，故假设不成立， 所

以

当

x?0时，

g2(x≤)，0即

???13分

②再证f(x)?0无解：

假设存在正实数x2，使得f(x2)?0， 则对于任意x(x3)f(x2)3?x2?0，有

fx2?0，即有f(x3)?0，

3x2?2 这与①矛盾，故假设不成立， 所以f(x)?0无解，

综上得f(x)?0，即g2(x)?0，

故所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”． ???16南通市2013届高三第三次调研测试 数学附加题参考答案及评分建议

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21．【选做题】

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O的半径为3，两条弦AB，CD交于点P，且AP?1， CP?3，OP?6． 求证：△APC≌△DPB．

证明：延长OP交⊙O与点E， ???F，分

由相交弦定理得 CP?DP?A?PB?PF?PE?P?6???33?6??CA F D P O B 2

，3 ?E ???6（第分 21—A题） 又AP?1，CP?3， 故

DP?1，

分

BP?3， ???8

所以AP?DP，BP?CP， 而?APC??DPB， 所

D以△

APC≌△

． ???10分

B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M???6 解

：

由

题

?x5??不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值． 6?x656意，矩阵

M的行列式

?0，解得

x?5， ???4分

?55? 矩阵M???的特征多项式 66??

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f(?)???5?6?5??6?(??5)(??6)?(?5)?(?6)， ???8

分

令f(?)?0并化简得?2?11??0，

解得??0或??11， 所

以

矩

阵

M的特征值为0和

11． ???10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

3 在平面直角坐标系xOy中，已知A(0， 0，其中t?0．设 1)，B(0， ?1)，C(t， 0)，D，?t?直线AC与

BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程． 解：直线AC的方程为x?y?1，

t ①

直线BD的方程为x?y?1，

3t ??2分

② ?

由①②解得，动点P的轨迹的参数方程为

?x?6t， 2?t?3（t?2t?3?y? 2t?3?为参数，且

t?0）， ???6分

2 将x?26t平方得x?236t2，

(t?3)t?32③

将

y?t?32t?32平方得

y2?t??t2?3??3?222，

④ ???8分 由

③

④

得

，

第13页

2x?y?1(x?0)． ???10分 32 （注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“x?0”扣1分．）

D．选修4—5：不等式选讲

已知a?0，b?0，n?N．求证：

*an?1n?bn?1na?b≥ab．

证明：先证

an?1n?bn?1na?b≥a?b2，

只要证2(an?1?bn?1)≥(a?b)(an?bn)， 即要证an?1?bn?1?anb?abn≥0， 即

nn要证

(a?ba?b)≥0， ???5分

若a≥b，则a?b≥0，an?bn≥0，所以(a?b)(an?bn)≥0， 若a?b，则a?b?0，an?bn?0，所以(a?b)(an?bn)?0， 综上，得(a?b)(an?bn)≥0． 从

an?1n而

2?bn?1na?b≥a?b， ???8分

≥ab 因为 所

an?1na?b2，

以

?bn?1na?b≥ab． ???10分

22．【必做题】

设n?N*且n≥2，证明：

?a1?a2?an?1an?．

222?????an??a1?a2?????an?2??a1?a2?a3?????an??a2?a3?a4?????an?????222证明：（1）当n?2时，有?a1?a2??a1?a2?2a1a2，命题成立． ???

2第14页

2分

（2）假设当n?k(k≥2)时，命题成立， 即

?a1?a2?????ak?2222?a1?a2?????ak?2??a1?a2?a3?????ak??a2?a3?a4?????ak?

?????ak?1ak?成

立， ???4分 那么，当n?k?1时，有?a1?a2?????ak?ak?1?

? ??a1?a2?????ka??2?a122?a????2k?a?ka?12?ka 1

222???a1?a2?????ak?2???a2?a3?a4????ka?ak?1ak? ??????a1?a2?a3????ka2 ?2?a1?a2?????ak?ak?1?ak?1．

?a1?a222?????ak?ak?21?2??????ak?ak??a1?a2?a32?1+a2?a3?a4?????ak?ak?1?

??? ??akak?1?． 所

以

当

n?k?1时，命题也成

立． ???8分

根据（1）和（2），可知结论对任意的n?N*且n≥2都成立． ???10分

23．【必做题】

下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的1，

12416，1，1．游戏规则如下：

2① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；

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