东北三省四市教研联合体2016届高三数学二模试卷（理科） Word版(4)

由中位线定理可得|OB|=|OC|=即有|

|AF1|， |+|

|=

|AF2|，

（|AF1|+|AF2|）=a=6，

故答案为：6．

15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 40 m． 【考点】解三角形的实际应用．

【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE． 【解答】解：如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，

∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=∵∠ACE=60°，∠AEC=90°， ∴AC=2CE=20∴AE=

∴AB=AE+BE=30+10=40． 故答案为：40．

，

=30．

．

16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：

（ⅰ）对于?a，b∈G，都有a*b∈G；

（ⅱ）对于?a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）； （iii）对于?a∈G，?e∈G，使得a*e=e*a=a；

（iv）对于?a∈G，?a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）． 则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：

①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是 ①④ （将你认为正确的序号都写上）．

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．

【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（ iii）?0∈G，?a∈G，则）0+a=a+0=a；（ iv）?a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群； ②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（ iv）；

③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；

④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（ iii）?1∈G，?a∈G，则）1×a=a×1=a；（ iv）?a∈G，在G中存在唯一一个

，使

．

故答案为：①④．

三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}满足后成为等比数列． （Ⅰ）求{an}；

（Ⅱ）令bn=|log2（an+1）|，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式．

，且数列{an}的每一项加上1

【分析】（I）利用数列{an+1}是等比数列可知a1+1=512、

，进而可知数列{an+1}是以512为首项、

的等比数列，计算即得结论；

（II）通过（I）可知bn=|11﹣2n|，分n≤5和n≥6两种情况讨论即可． 【解答】解：（I）由题意，数列{an+1}是等比数列，设公比为q， 则a1+1=512，∴所以

（II）由（I）可知bn=|11﹣2n|， 当当

，

，

，即数列{an+1}是以512为首项、

，

，

为公比的等比数列，

；

为公比

故

．

18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：

男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数； （Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）利用茎叶图能求出男生跳远成绩的中位数．

（Ⅱ）用分层抽样的方法，求出每个运动员被抽中的概率，根据茎叶图，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人数．

（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX． 【解答】解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是根据茎叶图，女生有18人， ∴抽取的女生有

（人）；?

，?

（cm）．?

（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人? X的取值为0，1，2， 则

，

，

，?

X的分布列如下： X P ? ∴EX=

=

．?

0 1 2

19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE； （Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，根据线面平行的判定定理即可证明：MN∥平面ADFE； （Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M﹣NA﹣F的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED， 又MN?平面EFDA，ED?平面EFDA 所以MN∥平面EFDA

（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF?平面EFCB 所以CF⊥平面EFDA，

以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z轴，建立空间直角坐标系．

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