第二章 导数与微分（答案）

第二章 导数与微分

(一)

1．设函数y?f?x?，当自变量x由x0改变到x0??x时，相应函数的改变量

?y?( C )

A．f?x0??x? B．f?x0???x C．f?x0??x??f?x0? D．f?x0??x 2．设f?x?在x0处可，则lim?x?0f?x0??x??f?x0??( A )

?x A．?f??x0? B．f???x0? C．f??x0? D．2f??x0? 3．函数f?x?在点x0连续，是f?x?在点x0可导的 ( A ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设函数y?f?u?是可导的，且u?x2，则

dy?( C ) dx A．f?x2 B．xf?x2 C．2xf?x2 D．x2fx2 5．若函数f?x?在点a连续，则f?x?在点a( D )

A．左导数存在； B．右导数存在； C．左右导数都存在 D．有定义 6．f?x??x?2在点x?2处的导数是( D ) A．1 B．0 C．-1 D．不存在

7．曲线y?2x3?5x2?4x?5在点?2,?1?处切线斜率等于( A ) A．8 B．12 C．-6 D．6

8．设y?ef?x?且f?x?二阶可导，则y??? ( D )

ef?x? B． A．ef?x?f???x? C．ef?x??f??x?f???x?? D．ef?x??f??x???f???x?

2???????????eax,x?0 9．若f?x??? 在x?0处可导，则a，b的值应为( A )

?b?sin2x,x?0 A．a?2，b?1 B． a?1，b?2 C．a??2，b?1 D．a?2，b??1

1

10．若函数f?x?在点x0处有导数，而函数g?x?在点x0处没有导数，则

F?x??f?x??g?x?，G?x??f?x??g?x?在x0处( A )

A．一定都没有导数 B．一定都有导数 C．恰有一个有导数 D．至少一个有导数

11．函数f?x?与g?x?在x0处都没有导数，则F?x??f?x??g?x?，

G?x??f?x??g?x?在x0处( D )

A．一定都没有导数 B．一定都有导数 C．至少一个有导数 D．至多一个有导数 12．已知F?x??f?g?x??，在x?x0处可导，则( A ) A．f?x?，g?x?都必须可导 B．f?x?必须可导

C．g?x?必须可导 D．f?x?和g?x?都不一定可导 13．y?arctg1，则y??( A ) xx2x211 A．? B． C．? D．

1?x21?x21?x21?x2f?a?h??f?a?h14．设f?x?在点x?a处为二阶可导，则lim?( A )

h?0hf???a? A． B．f???a? C．2f???a? D．?f???a? 215．设f?x?在?a,b?内连续，且x0??a,b?，则在点x0处( B )

A．f?x?的极限存在，且可导 B．f?x?的极限存在，但不一定可导 C．f?x?的极限不存在 D．f?x?的极限不一定存在 16．设f?x?在点x?a处可导，则limn?0f?a??f?a?h??f??a?。

h17．函数y?x?1导数不存在的点x??1。

??????18．设函数f?x??sin?2x??，则f???? －2 。

2???4?19．设函数y?y?x?由方程xy?ex?ey?0所确定，则y'?0?? 1 。

2

20．曲线y?lnx在点P?e,1?处的切线方程y?1?1?x?e?。 e?x?t2?2tdy21．若f?x???，则? 1/2 。

dxt?0?y?ln?1?t?22．若函数y?ex?cosx?sinx?，则dy?2excosx。

23．若f?x?可导，y?f?f?f?x???，则y??f??f?f?x???f??f?x??f??x?。

121??24．曲线?5y?2?3??2x?1?5在点?0,??处的切线方程是y???x?0?。

535??25．讨论下列函数在x?0处的连续性与可导性： (1)y?sinx

解：∵limsinx?0?sin0

x?0∴y?sinx在x?0处连续 又f???0?lim?x?0sinxf?x??f?0??sinx?lim?lim???1 ??x?0x?0x?0xxf???0?lim?x?0sinxf?x??f?0?sinx?lim?lim??1 x?0?x?0?x?0xxf???0??f???0?，故y?sinx在x?0处不可导。

1??xsin,x?0(2) y?? x?x?0?0,1?0?f?0?，∴函数在x?0处连续

x?0x1xsinx?0f?x??f?0?1x 又lim?lim?limsin不存在。 x?0x?0x?0x?0xx解：∵limxsin 故f?x?在x?0处不可导。

?sinx,x?026．已知f?x???，求f??x?。

?x,x?0 3

?cosx,x?0解：x?0时，f??x???可以求得f??0??1

?1,x?1?cosx,x?0 ∴f??x???。

?1,x?0e4x27．设y?ln4x，求y?及y?x?0。

e?1解：y???1?1lne?x?lne?x?1?4x?lne?x?1 22????????1??e?x?2?4?? ???x?e?x?1 2?e?1??28．设y?fexef?x?且f??x?存在，求

??dy。 dx??解：y??f?ex?ef?x??f?ex?ef?x??f??ex??exef?x??f?ex?ef?x?f??x?

???? ?ef?x?f?exex?fex?f??x? 29．已知y?ln1?x3?11?x?133??????，求y?。

?解：y???ln?? ?2????1?x?1?3?2ln1?x?1?3ln|x| 3x???2?????11?x3?121?x3?3x2333?? x1?x3?1?x3x??30．已知y?x?xx，求y?。

??解：y???x?exlnx??1?exlnx?xlnx??1?xx?lnx?1?

31．设y?7x?x7?77，求dyx?2。

61??1?717解：y???x?7?7??x?7x?2ln7

??7x??171x?32．设y?x?2?3?x?4?1?x?5，求y?。

解：两边取自然对数可得：

4

lny?1ln|x?2|?4ln?3?x??5ln?1?x? x 两边对x求导得：

11?11 y???4?5y2?x?2?3?xx?1 ∴y??x?2?3?x??145????2?x?2?x?3x?1? 5?1?x???4d2y33．设y?fx若f??x?存在，求2。

dx??2dyd2y2?f?x?2x，2?f??x24x2?2f?x2。 解：dxdx??????

(二)

1．设函数f?x?在点0可导，且f?0??0，则limx?0f?x?? ( B )

x A．f??x? B．f??0? C．不存在 D．? 2．若f??x0???3，则lim?x?0f?x0??x??f?x0?3?x?? ( B )

?x A．-3 B．6 C．-9 D．-12

f?a??f?a?2h??( A ) h?03h2323 A．?f??a? B．?f??a? C．f??a? D．f??a?

32323．若函数f?x?在点a可导，则lim?x2?2x?2,x?14．设f?x???则f?x?在x?1处( C )

1,x?1? A．不连续 B．连续，但不可导 C．连续，且有一阶导数 D．有任意阶导数

?1?x?1,x?0??x5．函数f?x???在x?0处( C ) 1?,x?0?2? A．不连续 B．连续不可导

5

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