Logistic映射的混沌行为

Logistic映射的混沌行为

摘要：Logistic映射是非常重要的混沌系统，我们编写了与之相关的计算程序，利用程序的计算结果讨论了非线性系统走向混沌的两种道路，并通过Logistic映射的动力学行为解释了混沌的本质。

关键词：Logistic映射；混沌；李亚普诺夫指数

引言

本文将通过对Logistic映射的分析研究，揭示混沌产生的动力学机制，并揭示混沌现象中普遍成立的规律。

[1]

1838年，Verhulst建立了生物种群的繁衍模型。

即xn?1?(1?r)xn(1?xn)?axn(1?xn) (1)

(1)式被称为虫口模型，也称为单参数的Logistic映射模型。线性项ax代表虫口数的平均增长率，而非线性项?ax2(a?0)体现环境资源对种群繁衍的制约因素。通过设定初值x0并研究数值序列x1,x2,?,xn,?的变化规律，我们就得到了种群繁衍的规律，

计算发现，Logistic映射的渐进行为与a的取值密切相关。

1、Logistic映射动力学行为的复杂性

如果a?1，则种群个体总数迅速衰减，最终迭代结果xn?1?0。从生态意义上来讲，虽然初始物种的数量保持一定的规模，但由于受到外界环境的制约，最终走向了物种灭亡的道路,如图1所示。

0.80.70.550.50.60.50.45xn0.40.30.20.40.350.100510n15202502468101214161820

图2 a?2.1，种群数量稳定 图1 a?0.8,种群灭绝

当a?2.1时，虽然种群的起始数量较少，但经过数代的繁衍，种群数量逐渐庞大并趋于稳定,如图2所示。而当a?2.8时，迭代出现震荡现象，但振荡起伏逐渐稳定最终导致物种总量达到平衡状态,如图3所示。

0.750.80.70.750.650.70.60.650.550.60.50.550.450.50.4024681012141618200.4502468101214161820

图3 a?2.8，种群数量稳定 图4 a?3.1，种群数量出现周期二行为 当a?3时，Logistic映射开始出现周期振荡现象，当a?3.1时，迭代结果在两个值之间交替出现，意味着物种繁衍出现了大小年情况，此时，Logistic映射进入周期二轨道, 如图4所示。

当a的值进一步增大时，迭代出现的振荡起伏会出现更为复杂的现象，当a?3.52时，迭代值每四次会出现重复现象，Logistic映射进入周期四轨道,如图5所示。

110.90.90.80.80.70.70.60.60.50.50.40.40246810121416182002468101214161820

图5 a?3.52，种群数量出现周期四行为 图6 a?3.55，种群数量出现周期八行为 当a?3.55时，Logistic映射进入周期八轨道。随着a值的增加，Logistic映射还会出现更长的周期轨道。Logistic映射随着a的增加轨道周期加倍的现象称为倍周期分叉现象, 如图6所示。特别需要指出的是，存在一个特殊的a值即a??3.569945672，当a?a?时， Logistic映射进入混沌区域, 如图7所示。

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10020406080100120140160180200

图7 a?3.9，种群数量出现混沌现象

2、Logistic映射模型进入混沌状态的倍周期分叉机制

Logistic映射模型从形式上来看是非常简单的，但由于非线性项的作用，其数值序列的渐进行为非常复杂，为了找出其非线性行为的规律性，我们首先下面研究Logistic映射的倍周期分叉图。

图8 Logistic映射的倍周期分叉图

从图8可以看出，随着a值的增加，方程的动力学行为依次出现周期2、周期4、周期8、周期16??的振荡解，这种周期逐渐加倍的现象我们称之为倍周期分叉。而当a＞3.5699时，系统的这种周期行为逐渐丧失，其迭代结果不再反复交替出现，而是进入了混沌状态，

[2]

此时系统的动力学行为变得复杂，迭代行为出现了随机性，以至于Logistic映射的倍周期分叉图的大部分区域被填满。倍周期分叉图具有自相似特性，如果我们缩小倍周期分叉图的横坐标取值范围，缩小计算步长，就可以将周期窗口放大，经过放大分叉图与其整体结构

[3]

具有相似性，这种自相似可以无限嵌套循环。通过改变系统参量a的取值，系统以倍周期分叉的方式进入混沌状态，称之为进入混沌的第一种模式：即由稳定不动点→周期二→周期四→??无限倍周期→混沌状态。

在倍周期分叉进入混沌的道路上，存在普适行为。若果定义任意相邻两次分叉的差值

?an?an?an?1，令???an，通过计算可以得到：

?an?1lim?n???4.66920160910299096718532038?

n??该常数就是Feigenbaum常数，在混沌系统中出现了常数，意味着我们找到了某种规律，其实，该常数是倍周期分叉的规律，只要发现了第一次分叉，就可以准确预测下一次发生分叉现象的时机。同时，分叉图表明混沌现象存在自相似结构[4]，该常数的发现则是自相似结构存在的有力证据，该常数就是相似比的极限值。 3、Logistic映射模型进入混沌状态的阵发性机制

系统还存在第二种通向混沌的方式，近似周期运动→改变参量→阵发性混沌→阵发性混

[5]

沌越来越频繁→近似的周期运动越来越少→进入混沌，我们称之为是阵发性混沌。

混沌区域并非一片无规律可循，而是有不断出现的白色空白区域，称为周期窗口。当

a?1?8时，倍周期分叉图出现了空白区域，意味着混沌行为突然消失，迭代结果在三个

值之间交替出现，系统出现周期三的稳定状态，动力学行为再次出现随机行为，系统重新进

[6]

入混沌状态，这和李天岩预言的“周期三意味着混沌”相吻合。

0-0.1-0.2-0.3-0.4xn-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-13.83.823.843.863.883.9n3.923.943.963.984

图9周期三窗口及阵发性混沌

结论：

混沌系统的长期不可预报性来源于系统自身，混沌系统长期行为的随机性就是混沌系统的初值敏感性[7]。长期以来存在随机性和确定性的争论，混沌的研究则架起了二者之间桥梁，一个完全遵从确定性演化规则的混沌系统，其运动行为长期却表现出随机性，甚至是完全随机性，因此，我们生活的这个世界是确定性和随机性的有机统一，确定性和随机性这一看似矛盾的两个方面在混沌系统中和谐共存。

The chaotic behavior of Logistic mapping

Abstract：The Logistic mapping is an important chaotic system， the calculation program was compiled for discussing the two road chaos to nonlinear systems， The nature of chaos is explained by dynamical behavior of Logistic mapping。 关键词：Logistic mapping；chaos；Lyapunov index

参考资料:

[1] H. O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe Chaos and fractals New frontiers of science [M],384-387,2008 [2]柳平，闫川，黄显高，改进的基于Logistic 映射混沌扩频序列的产生方法，通讯学报28(2)，134-139，通信学报，2007

[3]徐渟，混沌在工程中的应用，物理与工程，No.5, 53-55, 2000

[4] 张爱华,江中勤,基于Logistic映射混沌图像加密算法的改进, 南京邮电大学学报29(4),69-73,2009

[5] 邓绍江,李传东.混沌理论及其在密码学中的应用[J].重庆建筑大学学报25(5),123-12,2003, [6]OttE,grebogiC,YorkeJA.Chaos/xaocSovit-AmericanPerspectivesinNonlinearScience[M].Ed.byD.k.Camp2bell,1989AmericanInst.ofPhys.NY,1990.0,153～172 [7] 黄荣生.混沌及其应用[M].武汉:武汉大学出版社,2000

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