计量经济学第五章习题（龚志民）fixed

第5章 多重共线性

习题：

1. 什么是共线性？什么是多重共线性？

答：共线性是指回归模型中的各个解释变量之间不存在线性关系。“多重共线性”一词常常用来表示解释变量之间具有较高的共线性程度,但又不是完全共线性的情形。

2. 在k变量的模型中有k个正规方程用以估计k个未知系数。假定Xk是其余X变量的一个完

全线性组合，你怎样说明在这种情形中不可能估计这k个回归系数？

答：当一个变量是另一些变量的线性函数时，在这k正规个方程中，实际只有k-1个有效方程，利用线性代数的知识我们可以知道k-1个方程是无法准确估计k个未知数的。 3. 一般来说，如何判断模型中是否存在严重的多重共线性问题？

答：（1）R较高但t值显著的系数不多。（2）解释变量两两高度相关。（3）观察每个解释变量对其它剩余解释变量的回归方程，这样的回归称为辅助回归。如果某个辅助回归方程的拟合优度显著不为零（即整体显著：F检验），则存在多重共线性。（4）使用方差膨胀因子判断。克莱因经验法则（Klein’s rule of thumb）

如果某个解释变量还有一些诸如偏相关系数（partial correlation coefficient）、本征值（eigenvalues）或病态指数（condition index）等其他方法可用于诊断多重共线性的程度。对其余解释变量的辅助回归的拟合优度大于因变量Y对所有解释变量作回归所得到的拟合优度R，则可能存在比较严重的多重共线性。 4. 什么是方差膨胀因子（VIF），它有什么作用？

2??2x?3i??? 答：var(?2)??222??(?x2i)(?x3i)?(?x2ix3i)?2

2即

????22??1???var(?2)??? （5.7）

222??x2i1?r23(?x2ix3i)??2??(?x2i)?1??22????x2i?x3i????其中r23是解释变量X2和X3的（样本）相关系数，介于?1与?1之间。r23正好是X2对X3回归的拟合优度（也是X3对X2回归的拟合优度）。1 称VIF2?121?r23

为方差膨胀因子。于是

?)?var(?2与此相类似，

?2?2x2i?VIF （5.8）

?)?var(?3?2?2x3i?VIF

于是我们可以用VIF作为一种测定多重共线性的手段，当检测到较大的VIF时，就有可能存在多重共线性问题。

5. 在一个关于某城市用水量的分析中，估计出了如下的方程（n?15）：

watc??326.?90.3house05?0.pop36?3pci0.005 t ? ?(1.7) (0.9) ( ? 0.6) (1.4) ?17.87prwat?1.123rain R?0.93 F?38.9 (?1.2) (?0.8) 2

其中，watc=总用水量，house=总的房屋套数，pop=总人口， pci=人均年收入， prwat=水价， rain=年降雨量，括号内的数值是t统计量。

（1）根据经济理论或直觉，你认为每个回归系数的符号应该是什么，为什么？估计出来的

系数的符号与你的推测一致吗？

（2）每个系数的t统计值都不显著，但是F统计值是显著的，导致这种矛盾的原因是什么？

（3）这些估计量是有偏的、无效的或者不一致的吗？

答：（1）house的系数应该是正的，因为房屋越多，住户也就越多，用户量也会增加。模型中和推测的一致；pop的系数也应该是正的，因为人越多，用水量肯定也越多，模型中和推测一致。Pci的系数应该是正的，因为当人的收入多时，也就不会珍惜使用每一滴水来减少花费，模型中和推测不一致；prwat的系数应该是负的，因为当水价上升时，对于那些在意 1

见第2章习题2.8。

水价格的人们将会降低对水的使用，从而水的用量降低，模型中和推测一致；rain的系数应该是负的，因为当降水量增加时，用水量必然要减少了，这是由于水量相比较于以前增加了，模型中和推测一致。

（2）导致这种矛盾的原因是多重共线性的存在。

（3）如果保持自变量取值不变且有足够多的样本，利用这些样本计算得到OLS估计值的平均值将“接近于”真实的参数值，所以说这些估计量是无偏的。而且多重共线性没有破坏OLS估计量的最小方差性，但最小的方差也可能比较大。较大的方差容易导致本该显著的系数不能通过显著性检验。所以这些估计量是有效的，只是最小方差变大了。但是这些估计量将是不一致的，因为多重共线性将会带来的后果致使模型估计不准确，也就不能依概率收敛于总体的真值。 6. 考虑下面的数据集：

Y

-10 -8 -6 -5 -2 0 1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

6

2 7

4 8

6 9

8 10

X2

10 11

X311 13 15 17 19 21

假设你想做Y对X2和X3的回归，

（1）你能估计模型参数吗？为什么？

（2）如果不能，你能估计那些参数或参数的组合？ 答：（1）不能。分析数据可以看出，X3?2X?1，即存在完全共线性的关系。

2（2）可以估计出Y和X2、Y和X3、X2和X3系数的组合。 7. 判断以下陈述的正误，并给出理由。

（1）尽管存在多重共线性，OLS估计量仍然是具有BLUE性质的。

（2）在高度多重共线性的情形下，要评价一个或多个偏回归系数的个别显著性是不可能的。 （3）如果有某一辅助回归显示出高的R值，则模型中肯定存在较严重的多重共线性问题。 （4）变量的两两高度相关并不表示高度的多重共线性。 （5）如果分析的目的仅仅是预测，则多重共线性是无害的。 （6）其它条件不变，VIF越高，相应的OLS估计量的方差越大。

（7）在多元回归中，如果根据t检验，全部的偏回归系数个别来说都是不显著的，那么就不可能得到一个较高的R。

22答：（1）正确。无偏性是一个重复抽样的性质，如果保持自变量取值不变且有足够多的样本，利用这些样本计算得到OLS估计值的平均值将“接近于”真实的参数值。所以无偏性并没有改变。多重共线性也没有破坏OLS估计量的最小方差性，但最小的方差也可能比较大。较大的方差容易导致本该显著的系数不能通过显著性检验。

（2）正确。在严重多重共线性情况下，由于估计的标准误急剧增加，使得假设检验中的t值变小，从而导致接受零假设，从而无法评估偏回归系数的个别显著性。

（3）错误。我们可以通过辅助回归检验是否存在多重共线性，如果某个辅助回归方程的拟合优度显著不为零（即整体显著：F检验），则模型中可能存在多重共线性，但是并不表示必然存在。辅助回归不是检验多重共线性的充分条件。

（4）正确。变量高度相关并不一定是线性相关，如果是高度非线性相关就不一定会导致严重的多重共线性；即使在两个变量高度线性相关的前提下，也并不意味着严重的多重共线性。（5）不一定。如果所观察到的共线性关系能够在新的未来的数据中保持下去，则此论断正确，如果不是，则错误。

?)?（6）正确。从公式可以看出var(?2高，相应的OLS估计量的方差越大。

?2?2x2i?VIF，如果其他条件不变的情况下，VIF越

（7）错误。这是多重共线性的“典型”特征就是：R较高但t值显著的系数不多。如果R

22

较高，比如在0.8以上，F检验通常会拒绝零假设，即解释变量联合起来对被解释变量有影响，但单个系数能通过显著性检验（t检验）的不多。这说明即使根据t检验，全部的偏回归系数个别来说都是不显著的，那么也有可能得到一个较高的R。

2

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库计量经济学第五章习题（龚志民）fixed在线全文阅读。