人教版初中数学第十八章平行四边形知识点

第十八章平行四边形

18.1 平行四边形

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.

18.1.1 平行四边形的性质

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D. 证明：连接AC，?AD//CD,AD//BC

??1??2,?3??4

又AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴△ABC≌△CDA，

?AD?CB,AB?CD,?B??D

平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等. 平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等. 例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=BC，AD∥BC. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD.

平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.

平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等. 平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等. 平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.

例、如图，□ ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=

1AC，OB=OD． 2∵BD⊥AB，∴在Rt△ABO中，AB=12cm，AO=13cm． ∴BO=AO2?AB2?5．∴BD=2B0=10cm． ∴在Rt△ABD中，AB=12cm，BD=10cm． ∴AD=AB2?BD2?261(cm)．

例、如图，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和. 解：∵△AOB的周长为25， ∴OA+BO+AB=25，

又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，

∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26

18.1.2 平行四边形的判定

平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 例、如图，在□ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，

∵点E在AD上，点F在BC上， ∴AE//CF， 又∵AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形.

例、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB． （2）四边形ABCD是平行四边形．

解：（1）∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB．又∵AF=CE， DF=BE， ∴△AFD≌△CEB．

（2）由(1)△AFD≌△CEB知AD=BC，∠DAF＝∠BCE ，∴AD∥BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形．

例、如图，平行四边形ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且AE=CF，连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AD∥BC 又∵AE=CF，∴ED=FB，四边形AFCE是平行四边形

∴AF∥EC．同理：BE∥FD．∴四边形MFNE是平行四边形．

B F C A M E N D 18.2 特殊的平行四边形

18.2.1 矩形

矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形

矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线. 矩形性质1：矩形的四个角都是直角. 矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.

例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE， 求证：四边形BCED是矩形． 证明：在△ABD和△ACE中，

?AB?AC，AD?AE，?BAD??CAE

∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE，又DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形. 在△ACD和△ABE中， ∵AC=AB，AB=AE，

?CAD??CAB??BAD??CAB??CAE??BAE，

∴△ADC≌△AEB ∴CD=BE

∴四边形BCED为矩形

18.2.2 菱形

菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.

菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线. 菱形性质1：菱形的四条边都相等. 菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分. 菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角. 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.

推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形. 菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.

18.2.3 正方形

正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.

正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.

正方形性质1：正方形的四个角都是直角. 正方形性质2：正方形的四条边都相等.

正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等. 正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.

正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形. 例、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ，

BD＝6 cm， DH⊥AB于H，求：DH的长.

∵四边形ABCD是菱形，

?AC?BD，OA?OC?∴AB=5cm，

1AC?4cm，OB?OD?3cm， 2?S菱形ABCD?AC?BD?AB?DH， ?DH?

例、已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长.

解：∵菱形ABCD的周长为16cm，?ABC?600 ∴AB=BC=4cm，△ABC是等边三角形， ∴AC=4cm，

∵AC，BD互相垂直平分， ∴OA=2

AC?BD?4.8cm．

2AB?OB?42?22?23cm ?BD?43cm

例、如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点， PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F， 求证：EF＝AP

证明：连接PC，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形， ∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴PC=EF，

∵P是正方形ABCD对角线上一点， ∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，

在△PAD和△PCD中， AD＝CD，∠PDA＝∠PDC，PD＝PD， ∴△PAD≌△PCD， ∴PA=PC， ∴EF=AP，

例、在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F. 试说明:DE=DF

解：∵AB=AC，∠B=∠C ∵DE⊥ AB，DF⊥ AC ∴∠DEB≌DFC= 90° ∵D是BC的中点 ∴BD=DC ∴△BDE≌△CDF ∴DE=DF.

例、如图，ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？ 请说明理由.

解：四边形ABEF是菱形．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB，

∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠FAE， ∵AD∥BC， ∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴?ABEF是菱形．

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