行程问题专题讲义 - 图文

2013暑期 行程专题

行程问题专题

目 录

一、前言 ............................................................................................ 2 1、学习行程问题的意义 .............................................................................. 2 2、学习行程问题的障碍 .............................................................................. 2 3、学习行程问题的方法 .............................................................................. 2 4、基础知识列表 .................................................................................... 2 二、基础模型化行程问题 .............................................................................. 3 1、相遇问题 ........................................................................................ 3 2、追及问题 ........................................................................................ 5 3、流水行程问题 .................................................................................... 7 4、火车行程问题 .................................................................................... 9 三、拓展性行程问题 ................................................................................. 11 1、环形跑道行程问题 ............................................................................... 11 2、多次相遇行程问题 ............................................................................... 14 3、时钟问题 ....................................................................................... 15 4、牛吃草问题 ..................................................................................... 16 5、电梯问题 ....................................................................................... 17 6、接送问题 ....................................................................................... 18 7、狗追兔子问题 ................................................................................... 19 8、图形行程问题 ................................................................................... 19 四、小升初行程问题 ................................................................................. 20 1、五升六考试题 ................................................................................... 20 2、小升初考试题 ................................................................................... 24 五、竞赛训练 ....................................................................................... 38 1、希望杯 ......................................................................................... 38 2、华杯赛 ......................................................................................... 40

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2013暑期 行程专题

一、前言

1、学习行程问题的意义

我们任意翻开一套试卷，只要是一套综合的测试，大概就会发现少则一道多则三五道的行程问题。统计以往成都市“小升初”试卷和华奥赛试卷，行程问题一般占试卷分值的

1左右，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱5的题型。所以学习好这个专题很重要。

2、学习行程问题的障碍

小学生“行程问题”的学习障碍，主要源于以下几个的原因：

1） 行程分类较细，变化较多。

行程问题一般分为：基础模型化行程问题（如相遇问题、追及问题、流水问题、火车过桥问题、环形路线问题等等）；复合型行程问题（如多人同行、走走停停、不断往返等等）；拓展性行程问题（如牛吃草问题、爬电梯问题、最短路线问题、最长路线问题、效率问题）；特殊行程问题等等。同时行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有一个关键点可以抓住，因为每一个类型重点都不一样。比如相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差。

2） 行程问题是动态过程进行演绎和推理。 奥数中静态的知识学生很容易学会。比如：

例 1：数线段，一段线段被均分成 4 部分，请问一共有多少条线段。

教给学生方法，学生知道了：1+2+3+4=10 段。如果你把题目变化一下一段线段被均分成 100 部分，学生会依葫芦画瓢， 1+2+3?+100=5050 段。

所以静态的奥数知识可以公式化，学生只要理解了，套公式就很容易做出来。

行程的分析是动态的，简单问题，还好办，但稍复杂的问题，理解题意就是第一个难关，弄清楚变化的量之间的关系就更难，建立思考和解题的数学模型就更更难了。最后得出一个结论：行程太可怕了！

3）行程是一个壳，可以将许多奥数知识和方法溶含到里面，使得没有学过奥数的同学一筹莫展。 3、学习行程问题的方法 如何把行程问题学好？

首先要有决心：学好行程问题，参加考试时，你就在用你的长处和别人短处相比，显然您是高人； 其次要有信心：我们这次的综合练习，将涵盖所有题型和思路，认真学完，理解、练习熟练，您就OK！； 再次要有细心：听讲要听老师的分析，读题要逐字逐句，思考要严谨，做题更要逐步写出步骤和答语。 更次要有恒心：数学都是需要多练的，熟才能生巧。

当然，高效的学习是要有方法的，好的方法总是能事半功倍。比如：从简单去发现，用规律去解题；能表达就能解题；比加方程，双剑合一，天下无敌；动态分析极端化；不要得意忘形；??.等等。 有了这些，你就是行程问题高手了。 4、基础知识列表

行程问题数量关系：路程=速度×时间

基本数量关系：1、相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；

2、追及问题：速度差×追及时间＝路程差；

衍生数量关系：1、流水问题：顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；

2、环形路线：相遇：速度和×时间=周长； 追及：速度差×时间=周长

3、火车问题：错车：速度和×时间=两车长的和； 超车：速度差×时间=两车长的和 （火车过桥，过电杆，追、超人属同一问题） 4、牛吃草问题：生长：（牛头数-草生速）×时间=原有草 消失：（牛头数+草生速）×时间=原有草

5、爬电梯问题：与电梯同向：（人速+电梯速）×时间=电梯阶数 与电梯反向：（人速-电梯速）×时间=电梯阶数

比的应用：速度比×时间比=路程比 （运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单）

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二、基础模型化行程问题

【学习提示1】相遇追及的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的 条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.

【学习提示2】一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比 较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.

【学习提示3】不要得意忘形。画出路线图，就是很好地用图形语言表达题意，“能表达，就能解题”，图形会给你理解题意最直观的形式，也会给你最简单的解题思路。 1、相遇问题

路程和=速度和×相遇时间 速度和=路程和÷相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和

?两地??两人是从哪里出发的？??是不是同时出发的？?同时?相遇问题?

??他们走的方向是怎样？相向???相遇??运动最后的结果怎样？1. 李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地每小时行4千米，两人同时出发，在离甲乙两地中点

1千米的地方相遇，求甲乙两地相距多少千米？

2. A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时

行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？

3. 甲乙两人上午8时于东村到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即原路返回，在距西村

15千米处遇见乙，求东西两村相距多少千米？

4. 甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次是在离A站50千米处相遇，相遇后两车各自以原来速度继

续行驶，到达B、A站后立即原路返回，第二次是在离B站30千米处相遇。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？

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5. 有人提出这样一个问题,甲、乙两人同时相对而行,距离为100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米.总

有一个时间会碰面.甲带着一只狗,每小时走10千米,狗走得比人快,同甲一起出发,碰到乙时,它往甲方向走,碰到甲它又往乙方向走.问:这只狗一共走了多少千米?

6. 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人

相遇？

7. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5

千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离。

8. 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千D

A 米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度

都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。

B C 问：（1）小张和小王分别从 A， D 同时出发，相向而行，问多少时

间后他们相遇？

（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

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2、追及问题

路程差=速度差×追及时间 速度差=路程差÷追及时间 追及时间=路程差÷速度差

1. 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车库出发。已知道中巴车先开出，30分钟

后小轿车顺着中巴车的路线出发，小轿车经过多少时间能追上中巴车？

2. 甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。途中甲车因故障修

车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。两地间的路程是多少千米？

3. 小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地，早上6时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走5千米，

小丽每小时走4千米。小霞上午8时才从甲地出发。傍晚6时，小华和小霞同到到达乙地。小霞是在什么时间追上小丽的？

4. 一支队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一个战士因事需从排尾赶到排头，并立即返回排尾。如果他的

速度是每秒3米，那么，这位战士往返共需多少时间？

5. 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如

果速度是35千米/小时，要40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？

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