湖南省娄底市2011中考数学试题答案及解析[1](4)

），B（﹣2，0）．

（1）求C，D两点的坐标． （2）求证：EF为⊙O1的切线．

（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y

轴的距离相等？如果存在，

请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰梯形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质。 专题：综合题。 分析：（1）连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D两点的坐标； （2）连接O1E，由半径O1E=O1C，得∠O1EC=∠O1CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC=∠DCB，故∠O1EC=∠ABC，可证O1E∥AB，由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可； （3）存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC=PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解． 解答：解：（1）连接DE，∵CD是⊙O1的直径， ∴DE⊥BC， ∴四边形ADEO为矩形． ∴OE=AD=2，DE=AO=2

．

在等腰梯形ABCD中，DC=AB． ∴CE=BO=2，CO=4． ∴C（4，0），D（2，2

）；

（2）连接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C， ∠O1EC=∠O1CE，

在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB． ∴O1E∥AB， 又∵EF⊥AB， ∴O1E⊥EF． ∵E在AB上， ∴EF为⊙O1的切线

（3）解法一：存在满足条件的点P． 如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM， 在矩形OMPN中，ON=PM，

设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x， tan∠ABO=

∴∠ABO=60°， ∴∠PCN=∠ABO=60°． 在Rt△PCN中， cos∠PCN=即∴x=．

，

，

．

∴PN=CN tan∠PCN=（4﹣） =． ）．

∴满足条件的P点的坐标为（，

解法二：存在满足条件的点P， 如右图，在Rt△AOB中，AB=

．

过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM， 在矩形OMPN中，ON=PM，

设ON=x，则PM=PC=x，CN=4﹣x， ∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°． ∴△PNC∽△AOB， ∴解得x=．

又由△PNC∽△AOB，得∴PN=

．

）．

，

，即

．

∴满足条件的P点的坐标为（，

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解．

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