2003年A题全国数学建模优秀论文1(2)

dS 1IS （1） dt

dE 1IS 1E LP LE （2）dt

dI 1E qI （3） dt

dR qI （4） dt

S0,I0,R0,E0

（初值）

3．参数的确定

1)

2) 1 ——根据医学资料和有关数据推导而得。 q ——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。

3) l——由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。可

查有关资料。

4) 1——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。

5) P——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。

II控后模型的建立

1．参数设定

2——不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接

触的人的数目。

q ——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。

——接触病源的人的发病率。

ε——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。

2．控后方程的建立

根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：

dS 2 Sdt(5)

dI G qI (6) dt

dR qI (7) dt

dG 2 S G dt (8)

d 2 S G (9) dt

S0,I0,R0,E0, 0 （初值）

在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题:

(1) 该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。

(2) 从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。

从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定作了改动：我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者”，用Y和M分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：

疑似者：所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。

自由带菌者：不可控的病毒携带者。

综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：

III控后优化模型的建立

1．参数说明

y1 —— 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例；

y2 ——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；

——每个自由带菌者转化为病人的日转化率；

2——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；

——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率；

2．方程的建立

dS Yy1 2MSdt

(10)

dI M qI y2Ydt

(11)

dR qIdt

（12）

dY y1Y y2Y 2MS dt

(13) dM 2MS(1 ) Mdt

(14)

S0,I0,R0,Y0,M0

(初值)

与前一个模型相比，此优化模型的优点在于：

明确了疑似者所指的范围；

基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值；

将 2定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量；

3． 参数的确定

鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的分析方法。

1) y1——疑似者的日排除比例：

计算公式：y1=每天新增的疑似排除人数 当天疑似病例累计人数

以北京为例说明：

首先我们直观的观察一下y1的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的y1（见后面列表 5 ），用matlab画图，如下图1所示：

图1

初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：

（光滑的线为cubIc拟合曲线）

图2

可以看出y1大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制初期市民有较恐慌的心理，导致疑似病例中非感染者比例较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。

虽然三阶拟合能在一定程度上反映y1的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图3：

图3

其中，平直的线为lIneaR拟合直线。

再用威布尔分布观察一下处理后的y1的值的分布情况，如图4所示：（对威布尔分布做解释）

图4

可以看出y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。

2) y2——疑似转化为病例的日转化比：

计算公式：y2=

以北京为例 每天新增的疑似转化为确诊的人数 当天疑似累计人数

同y1的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的y2（见后面的列表 5）的变化趋势如下图5所示：

图5

原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图6：

图6

从原始数据可以看出y2总的

趋势是下降的，先用曲线拟合处理

一下如图7：（光滑的线是y2的五

阶拟合线）

图7

显然，y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者较多，还有一个较大的峰值。

最后，我们依然用威布尔分布来观察一下y2的值的分布情况，如图8所示：

图8

可以看出y2的值主要分布0.05%—2%之间，但是y2不同于y1的分布那么均匀，所以我们不能用一个有效值来取代y2的值。在这里，我们把y2的值分布人为划分为两个阶段值：

2.229%和0.59%。

如下图9所示，y2的两个有效值分布在中直线的两侧。

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