高数复习题及答案(中山大学)(2)

y x

得交点横坐标分别为x

11 1 1

. S x2 x3 dx x3 x4 1 004 12 3

四 应用题

将长度为100米的铁丝折成面积最大的矩形, 求该矩形的长和宽. 解 设折成的矩形的长为x,则宽为

100 2x

50 x,故矩形的面积为 2

,由

S x 50 x 5x x2

,

S 50 2xS 50 2x 0

解得长

x 25

,宽

50 x 25(米),所以该矩形的长和宽都为25米.

. 一 选择题

1、D 2、C 3、B 4、A 5、B 二 填空题

① 3 ② ⑤

ex(sinx3

) d ③ y 3x ④ 3 3coxs3x

[ 1,3]

⑥

x

⑦

x arctanx C ⑧ sin

2

4

三 计算题

1．求lim

x 0

cosx 1． 2

x

解

lim

cosx 1 sinx1

lim

x 0x 0x22x2

2x

3 2．求lim 1

x

x

．

大学高等数学

解

3 lim 1x

x

2x

e 6

3．设函数

y exarctanx，求y ．

2

2

解

y 2xexarctanx

e1 x2

x2

3

dy x t 20094．设 ，求．

t

dx y e

解

dyet

2dx3t

10

5．求不定积分

11x 5

10

dx．

解

11x 5

dx

111011

11x 5d11x 5 11x 5 C 11 121

2

6．求不定积分

sinx

cosxdx．

解

sinx

2

12

cosxdx sinx dsinx sin3x C

3

7．求定积分

cos 2x dx．

2

解

12 0 cos 2x dx sin2x 0

20

2

8．求函数解

f(x) x3 3x的极值．

f (x) 3x2 3 0,得x 1或x 1

f (x) 6x,由f ( 1) 6 0知, f( 1) 2为极大值,由f (1) 6 0知, f(1) 2为

极小值. 四 应用题

求由曲线

y x2和y x所围成的平面图形的面积.

y x y x

2

解 解方程组 形的面积为

,得交点坐标为( 1,1)和(1,1),因此由曲线

y x2和y x所围成的平面图

x2x3 12(x x)dx 23 06 1

五 证明题

1

1

大学高等数学

10, )上只有一个实根． ( 证明方程 x x 在

证 作函数

3

f(x) x3 x 1,则因f (x) 3x2 1 0,故f(x) x3 x 1在( , )上

3

单调增,于是方程x

因

x 1 0在( , )上最多只有一个实根.

f(0) 1 0,f(1) 1 0, 故由零点存在定理知, 存在x (0,1)使得f(x) 0,综上方程

x3 x 1 0在( , )上只有一个实根.

五 证明题

指出函数lnsinx在区间满足罗尔定理的结论．

证 函数lnsinx在区间

5 5

上满足罗尔定理的条件,验证函数lnsinx在区间,, 上

6666

5 5

上满足罗尔定理的三个条件，即函数lnsinx在区间,, 上

66 66

连续,在

5 1 5

lnsin lnsin ln内可导,且. , 66266

内存在一点

5

, 66

, 使得

f 0

. 事实上，由

(lnsinx)

cosx

0sinx

和

5

x , ，得x ， 因此，取

22 66

。 即有

f 0

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