该文档包含了信息光学基础数学知识,标量衍射理论及透镜的傅立叶特性的知识总结。
信息光学部分章节小结
第一部分：数学基础
一 几个常用函数
（1）矩形函数：该二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率。 xyxyrect(,) rect() rect() abab
ab 1,x ,y 2 2 （a>0,b>0）
0,others
（2）sinc函数：sinxyxysin( x/a)sin( y/b) (a>0,b>0) ,) sinc() sinc() abab x/a y/b
(3)阶跃函数： x 0 0a x 1xstep() 0 a 2a 1x 0 a （4）符号函数：
x 1 0 ax x sgn() 0 0a a
1x 0 a
（5）三角函数：二维三角函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数 xyxy (,) () ()abab xyxy , 1 (1 )(1 ), abab 0,others
（6）高斯函数：
xyxyGauss(,) exp{ [()2 ()2]}a,b 0 abab
（7）圆域函数：
x2 y2r1r x2 y2 r0circ() circ() { r0r00others
（8） 函数： x x0,y y0 1 (x x0,y y0) others 0 2 (x x0,y y0)dxdy 1
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（9）comb函数：comb(xyxy,) comb()comb() x0y0 (x mx0,y ny0) x0y0x0y0m,n
二 几种重要的数学运算
1 卷积： g(x,y) f(x,y) h(x,y)
卷积的几个重要性质： f( , )h(x ,y )d d
（1） 线性性质： af(x,y) bh(x,y)} g(x,y) af(x,y) g(x,y) bh(x,y) g(x,y)
（2） 卷积符合交换律：f(x,y) h(x,y) h(x,y) f(x,y)
（3） 卷积符合结合律： f(x,y) h(x,y) g(x,y) f(x,y) h(x,y) g(x,y)
（4） 卷积的坐标缩放：若f(x,y) h(x,y) g(x,y)，则
f(ax,by) h(ax,by)
（5） 卷积位移不变性：若1g(ax,by) （a,b均不等于0） abf(x,y) h(x,y) h(x,y) f(x,y)，则
f(x x0,y y0) h(x,y) f(x,y) h(x x0,y y0) g(x x0,y y0)
（6） 函数f(x,y)与 函数的卷积：
f(x,y) (x x0,y y0) f(x x0,y y0)
2 相关
互相关： e fg ( x , y ) f ( , ) g ( x , y ) f g ( x , y ) d d(x, y )
自相关： eff(x,y) f(x,y) f(x,y)
f*( , )f(x ,y )d d
f*( x, y)f( , )d d
3 傅立叶变换
傅立叶变换对：正变换 F(fx,fy)
逆变换 f(x,y)
f(x,y)exp[ j2 (fxx fyy)dxdy F(fx,fy)exp[j2 (fxx fyy)dfxdfy
频谱函数F(fx,fy)一般是复函数，因此：F(fx,fy) F(fx,fy)expi (fx,fy) 傅立叶变换的重要性质：
af （1）线性 ( x , y ) bg ( x , y ) aF ( f x , f y ) bG f y ( f x,) a,b为任意常数
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y（2）缩放定理 g ( ax , by ) G(x,)abab 1ff
（3）位移定理 f(x a,y b) F(fx,fy)exp i2 (fxa fyb)
f(x,y)exp[ i2 ( x y)] F(fx ,fy )
（4）卷积定理
f(x,y) g(x,y) F(fx,fy)G(fx,fy)
f(x,y)g(x,y) F(fx,fy) G(fx,fy)
（5）互相关定理
f(x,y) g(x,y) F (fx,fy)G(fx,fy)
f(x,y)g(x,y) F(fx,fy) G(fx,fy)
由互相关定理可以推导出自相关定理。
（7） 迭次变换定理
FF{f(x,y)} F 1F 1{f(x,y)} f( x, y)
即，对函数f(x,y)连续进行两次傅立叶变换或傅立叶逆变换，得到f( x, y) 常用傅立叶变换对：
(x,y) 1 （3）cos(2 f0x) （1）1 (fx,fy) （2）
（4）sin(2 f0x) 1[ (fx f0) (fx f0)] 21[ (fx f0) (fx f0)] 2i
（5）[ (x x0) (x x0)] sin(2 fxx0)
（6）（7）rect(x)rect(y) sinc(fx)sinc(fy) comb(x)comb(y) comb(fx)comb(fy)
（8）circ(x2 y2)
22i2J1(2 2fx fy)222 22fx fy（9）exp[i (x y) exp(i
2 2)exp[ i (fx fy)] 2（10） (x) (y) sinc(fx)sinc(fy) （11）exp[ (x2 y2)] exp[ (fx fy)]
第二部分：信息光学
一 线性空不变系统：设某系统对输入信号f1(x,y)和f2(x,y)分别产生输出信号22g1(x,y) L{f1(x,y)},g2(x,y) L{f2(x,y)}，若输入函数在空间发生了平移，且对任意复常数a1,a2，有
L{a1f1(x x0,y y0) a2f2(x x0,y y0)} a1g1(x x0,y y0) a2g2(x x0,y y0)
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对于线性空不变系统，其输出函数（像）可以表示为输入函数（物函数）与系统脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积。即：g(x2,y2) f(x2,y2) h(x2,y2)，则其对应的傅立叶变换式为：G(fx,fy) H(fx,fy)F(fx,fy)，其中，H(fx,fy) F{h(x,y)} 称为系统的传递函数，表示系统在频域中对信号的传递能力。
二 标量衍射之菲涅耳衍射
1 菲涅耳衍射的卷积表示：U0(x0,y0) U1(x0,y0) h(x0,y0) ，其中，h(x0,y0) 1jkzk22eexp{i(x2 y2)}，则 H(fx,fy) ejkzexp{ j z(fx fy)} j z2z
2 菲涅耳衍射的傅立叶变换关系：
U0(x0,y0) 1jkzkk2222eexp{j(x0 y0)F{U1(x1,y1)exp[j(x1 y1)]} j z2z2z
三 标量衍射之夫琅和费衍射
1 夫琅和费衍射：U0(x0,y0)
其中，fx 122exp(jkz)exp{j z(fx fy)F{U1(x1,y1)} j zxyfy z z
2 几种重要的夫琅和费衍射计算
计算的一般思路是：首先写出衍射屏的透过率函数，然后用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，则后表面上的光场分布就等于衍射屏的透过率函数，再将透过率函数带入夫琅和费衍射的计算公式，计算透过率函数的傅立叶变换，求出其输出光场，最后分析其输出场的光强分布特点。
（1） 矩形孔的夫琅和费衍射：t(x1,y1) rect(x1y1,) ab
U0(x0,y0) 1k22exp(jkz)exp{j(x0 y0)} absinc(afx,bfy) j z2z
I(x0,y0) U0(x0,y0)U0(x0,y0) (ab2axby)sinc2(0,0) z z z
（2） 圆孔的夫琅和费衍射：t(r1) circ(r1) d2
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