中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆

知识要点扫描归纳

一圆的基本概念

（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。

（2）确定圆的条件；

①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；

（ 3）点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外d＞ r；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r ；

（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦

的距离叫做弦心距。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相

重合的两条弧叫做等弧。

（7）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心

是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二圆中的重要定理

1．垂径定理及其推论：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

推论 1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．

推论 2：圆的平行弦所夹的弧相等．

2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．

在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则

其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：

圆心角相等所对弧相等所对弦相等所对弦心距相等

3．圆周角

①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．

②定理及推论

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．

推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

推论 4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

三、直线和圆的位置关系：

1 ．直线和圆的位置关系的定义及有关概念

（ 1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．（ 2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）

这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（ 3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）

· O

·O

· O

l

l

l

图 1图 2图 2

2．直线和圆的位置关系性质和判定

如果⊙ O的半径r ，圆心O 割直线l的距离为d，那么（1）直线l和⊙O相交 d r（图1 ）；（ 2）直线l和⊙O相切 d r （图2）；（ 3）直线l 和⊙O相离 d r（图3）．

O O O ·

r··

d

r d r

l

l d

l 图 1图 2

图 3

四、切线的判定和性质：

（一）切线的判定

1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．

（二）切线的性质

1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；

推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．切线的性质：

（1）切线和圆只有一个公共点；

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；

（ 4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；

（ 5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．五、三角形的内切圆 1 ．三角形的外接圆

过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形

的外心到各顶点的距离相等．

2 ．外心的位置

锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中

点，外接圆半径 R

C (C 为斜边长 )

2

3 ．三角形的内切圆

到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角

形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为 S ABC

，周长为

a+b+c, 则内切圆半径为

:

2S ABC

，当 a, b 为直角三角形的直角边，

c 为斜边时，内切圆半径

r

b c

a

ab a b

c

r

或 r

2 .

a b

c

4 ．圆内接四边形的性质

（ 1）圆内接四边形的对角互补；

（ 2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．

六、切线长定理：

1 ．切线长概念：

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的

R ，叫做这点到圆的切线长．

2 ．切线长和切线的区别

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．

3 ．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

要注意：此定理包含两个结论，如图，

PA 、 PB 切⊙O 于 A 、 B 两点，① PA=PB ② PO 平分

APB ．

4 ．两个结论：

A

圆的外切四边形对边和相等；

P

O ·

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