大学物理课后答案5

5-1 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少?

[解] 飞船静止长度l0为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，有：

lv2l?l01?()?0

c2vc3232

解得：?

即：v?c?0.866c

5-2 宇宙射线与大气相互作用时能产生?介子衰变，此衰变在大气上层放出?粒子，已知?粒子的速率为v＝0.998c，在实验室测得静止?粒子的平均寿命为2.2?10?6s，试问在8000m高空产生的?粒子能否飞到地面?

[解] 地面上观测到的?子平均寿命与固有寿命之间的关系

t?t0?v?1????c?2

?子运行距离l?vt?vt0?子能飞到地面。

?v?1????c?2?0.998c?2.2?10?61?0.9982?1042m

5-3 在S系中观测到两个事件同时发生在x轴上，其间距离为1m，在S?系中观测这两个事件之间的距离是2m。求在S?中测得的这两个事件发生的时间间隔。 [解] 在S系中两事件时间间隔?t?0,由Lorentz变换

uc2 x??x?ut1?(u/c)2t?t??x2

1?(u/c)?x?u?t?x????x??221?(u/c)1?(u/c)??uu得：? ?t?2?x?x2?cc?????t?221?(u/c)1?(u/c)??将?x??2m,?x?1m代入上两式，得

u?32c,?t???5.77?10?9s

17-1

5-4 远方一颗星体以0.80c的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期。 [解] 所求的为固有周期T0：

5-5 假设一飞船的速率可达u＝0.5c，它沿着广州和北京的连线飞行，已知广州到北京的直线距离为1.89?103km，问飞船中的乘客观测到广州到北京的直线距离是多少? [解] 已知固有长度l0?1.89?103km

?v?1????c?2323?1.6368?10km

T0?T1?(v/c)2?51?0.802?3昼夜

l?l0?1.89?10?1?0.5

5-6 1966～1972年间，欧洲原子核研究中心(CERN)多次测量到储存环中沿“圆形轨道”运行的?粒子的平均寿命，在?粒子的速率为0.9965c时，测得的平均寿命是26.15?10?6s。

?6?粒子固有寿命的实验值是2.197?10s。问实验结果与相对论理论值符合的程度如何?

[解] ?粒子固有寿命理论值

?v?t0?t1????c?2?2.615?10?6?1?0.99652?2.186?10?6s

与实验值比较，相对误差0.5%，两者符合得极好。

5-7 在惯性系S中的同一地点发生A、B两个事件，B晚于A 4s，在另一惯性系中S′中观测到B晚于A 5s，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)在S′系这两个事件发生的地点间的距离是多少?

[解] (1) 由题意知，固有时?0?4s，根据时间膨胀公式， ???01?(u/c)2

有：1?(u/c)2??0/??4/5 由此得

uc?35, 即u?35c

(2) 应用Lorentz变换式，得： x??x?ut1?(u/c)2

17-2

3所以 ?x???x?u?t1?(u/c)2??u?t1?(u/c)2??5?4c45??3c

因而S?系中这两个事件发生地点间相距3c 。

5-8 有一宇航员乘速率为1000kms的火箭由地球前往火星，宇航员测得他经40h到达火星，求地面上观测者测得的时间与宇航员测得的时间差。 [解] 宇航员测得的是固有时间t0，地面测得的时间

t?t0?v?1????c?2?40.00022小时 t0?40小时

所以t?t0?2.2?10?4小时

5-9 (1)火箭A以0.8c的速率相对于地球向东飞行，火箭 B以0.6c的速率相对地球向西飞行，求火箭B测得火箭A的速率的大小和方向。

(2)如果火箭A向正北飞行，火箭B仍然向西飞行，则由火箭B测得火箭A的速率大小中方向又如何?

[解] (1)选地球为S系，火箭B为S?系，并设正东为x轴正向，则对A有：

u??0.6c,由速度变换公式，得：

v?x?方向为正东。 (2) 坐标系仍如(1)问，

u??0.6c,vx?vz?0,vy?0.8c

vx?0.8c,vy?vx?0

vx?u1?uc2?0.8c?0.6c1?0.8c?0.6cc2?0.946c

vx由速度变换公式，有

?vx?vx?u1?uc2?0.6c

vx2vy??vy1?(u/c)1?uc2?0.64c

vx??0 vzv????v?x?vy?vz222?0.877c 17-3

有正东方向夹角为

??cos?1v?xv??cos?10.6c0.877c??46.83

5-10 一空间飞船以0.5c的速率从地球发射，在飞行中飞船又向前方相对自己以0.5c的速率发射一火箭，问地球上的观测者测得火箭的速率是多少?

[解] 地面取为S系，飞船取为S?系，则v?0.5c，u?。对地面观测者而言火箭速率x?0.5cux?u?x?v1?u?xvc2?0.5c?0.5c1?0.5c?0.5cc2?0.8c

5-11 半人马星座的口星距地球为4.3?1016m，设有一飞船以0.999c的速率往返于。星与地球之间。由地球上观测，飞船往返一次需多少时间?若在飞船上观测，往返一次需多少时间?

[解]取地球为S系，飞船为S?系，地球上观测飞船往返一次需时：

2?t?2?x/u?2?4.3?1016/0.999c?2.87?108S 由Lorentz变换，飞船上观测，往返一次需时：

?t?uc2?x2 2?t??2??1.28?10s

71?(u/c)本题第二问也可用尺缩效应来求，飞船上看来，距离为

?x??21?(u/c)?x，时间为 2?t??2?x?/u

还可以用钟慢效应来求，飞船上人观测往返一次这两件事发生在同一地点，故飞船测得的为固有时，因而：

2?t??2?t1?(u/c)2?1.28?10s

7

5-12 地球上的观测者发现，一只以速率0.60c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一个以0.80c速率向西飞行的慧星相撞。 (1)飞船中的人将观测到慧星以多大的速率向他们接近?(2)按照飞船上的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞?

[解] 地球取为S系，飞船取为S?系，由已知条件，当取x轴向东时，v?0.6c，ux??0.80c，

?t?5s。飞船上人观测彗星速率

u?x?ux?v1?uxvc2??0.80c?0.60c1?0.80?0.60??0.946c

负号表示彗星向西飞行。时间间隔?t在飞船中观测应为?t?

17-4

?t??t??v?xc22

?v?1????c?式中?x为相撞浅s中彗星飞行距离。?x?ux?t

?t?v?xc221??uxvc22所以 ?t????t?9.25s

?v?1????c??v?1????c?

5-13 设一火箭的静止质量为100t，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了多少? [解] v?11.2kms?1.12?104ms

m?m0?v?1????c?2?1?1.121???3?10?105???2?1.0000000009m

?m?m?m0?9?10m0?9?10?2g

5-14 要使电子的速率从1.2?108ms增加到2.4?108ms必须做多少功? [解] 由动能定理，外力所作的功为

A??mc代入数据，得

A?8.199?10?14(1.667?1.091)?4.72?10?14J

5-15 某粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少? [解] 动能为Ek?mc

22?m0c(211?(v2/c)2?11?(v1/c)2)

?m0c 由已知条件

2 Ek?m0c2，故 解出 v?32m01?(v/c)21/1?(v/c)2?2

c

所以有 m??2m0

17-5

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