数字信号处理（程佩青）课后习题解答(4) - 图文

第四章 快速傅立叶变换

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50? s 每次复加5? s，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直拉 计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。解: 解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间:

T1?5?10?6?N2 ?5??10?65122 ?1.31072s 复加所需时间: ⑵用FFT计算: 复乘所需时间: T1?5?10?6?N2log2N ?5?10?6?5122?log2512 ?0.01152s

T2?0.5?10?6?N?(N?1) ?0.5?10?6?512?(512?1) ?0.130816s ?T?T1?T2?1.441536s T2?0.5?10?6?N?log2N ?0.5?10?6?512?log2512 ?0.002304s ?T?T1?T2?0.013824s 复加所需时间:

2.已知X(k),Y(k)是两个N点实序列x(n),y(n)的DFT值,今需要从X(k),Y(k)求x(n),y(n)值,为了提高运算效率,试用一个N点IFFT运算一次完成。解:依据题意: x(n)?X(k);y(n)?Y(k) 取序列Z(k)?X(k)?jY(k) 对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n). 又根据DFT性质： IDFT[X（k）?jY（k）] ?IDFT（[X（k）]?jIDFT[Y（k）] ?x（n）?jy（n） 由原题可知：x（n），y（n） 都是实序列， 再根据z（n）?x（n）?jy（n） 可得：x（n）?Re[z（n）] y（n）?Im[z（n）] 综上所述，构造序列 Z（k）?X（k）?jY（k）可用一次 N点IFFT完成计算x（n），y（n） 值的过程。

3.N?16时,画出基?2按时间抽取法及按频率抽取法的 FFT 流图(时间抽取采用输入倒位序,输出自然数顺序, 频率抽取采用输入自然顺序,输出倒位序)。

4.N?16时,导出基?4FFT公式并画出流图,并就运算量与基?2的FFT相比较(不计乘?j及乘?j的运算量)。解：依题意：N?4?4?r1r2 ?对于n?N,有n?n1r2?n0;?n1?0,1,2,3??n0?0,1,2,3同样令N?r2r1,对于频率变量k (k?N)有?k1?0,1,2,3k?k1r1?k0,??k0?0,1,2,3?x(n)?x(n1r2?n0)?x(4n1?n0) ?x(n1,n0)X(k)?X(k1r1?k0)?X(4k1?k0) ?X(k1,k0)nk?X(k)??x(n)W16n?015

??n0?0n1?033??x(4n??x(4n331(4n1?n0)(4k1?k0)?n0) W16

14n1k04n0k1n0k0?n0) W16 W16 W16n0?0n1?0

5.试用N为组合数时的FFT算法求N?12的结果(采用基?3?4),并画出流图。解：依题意：N?3?4?r1r2,?对于0?n?N,有?n1?0,1,2

n?n1r2?n0,??n0?0,1,2,3 同样： 令N?r2r1

对于频率变量k(0?k?N)有?k1?0,1,2,3??k0?0,1,2?x(n)?x(n1r2?n0)?x(4n1?n0)k?k1r1?k0, ?x(n1,n0)X(k)?X(k1r1?k0)?X(3k1?k0) ?X(k1,k0)nk?X(k)??x(n)W12n?011 ?n0?0n1?0??x(n,n1320(4n1?n0)(3k1?k0))W12

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