《实变函数》第一章 集合(3)

设P是整系数多项式全体所成之集, Pn是n次整系数多项式全体

Pn?{anxn?an?1xn?1?首先 P0??a0|ai?Z,i?1,2,n个,n,an?0}

Z，Pn~(Z?{0})?Z?Z??Z（有限个可数集的卡氏积）

故 P?n?0Pn为可数集（可数个可数集的并）

由代数基本定理知任意n次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.

例3 设A是一个无限集，则必有A*?A，使A*A ，而A?A* 可数

证明：由A是一个无限集，则A包含可数子集?e1,e2,e3,?，令

A0?A??e1,e2,e3,则

?，A*?A??e1,e3,e5,?，

A0A*?A，A*?A0且

?e2,e4,e6,??e1,e2,e3,??A ?

A?A*??e1,e3,e5,是可数集，证毕.

小 结 本节利用一一对应的思想, 给出了集的基数和可数集的定义. 集的基数是有限 集元素的个数在无限集的推广. 可数集是具有最小基数的无限集. 可数集经过有限或 可数并运算后仍是可数集. 有理数集是一个重要的可数集

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作业：P30 12, 15

练习题

1、 设A中的元素是直线上两两不交的开区间，则A为至多可数集. 2、 怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？ 3、 证明任一可数集的所有有限子集全集是可数集. 4、 证明递增函数的不连续点的全体为至多可数集.

§4、 不可数集合

教学目的 介绍不可数集概念及其属性.

本节要点 区间[0,1]是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R集

证明相关问题具有重要意义 ，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握.

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本节难点证明集合不可数. 授课时数 2学时

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不是可数集的无限集称为不可数集． 1 不可数集的存在性

定理1 区间?0,1?是一个不可数集．

证明： 假设?0,1?可数，则?0,1?上的点可以排成一个无穷序列：

x1,x2,,xn,

记?0,1?为I0，把I0 三等分于其中取一不含x1的闭区间，记为I1，则I1的长度|I1|?把I1三等分，取其中不含x2的闭区间，记为I2，则|I2|?区间?In?满足：

1.再31，这样下去，可以得到一列闭23I0?I1?I2??In?,|In|?1,xn?In 3n)，而由假设，?n0?N使

故?In?形成闭区间套，因此存在唯一点x0?In(n?0,1,2,得x0?In0，这与x0?In(n?0,1,2,)矛盾，故?0,1?是不可数集.

2 连续势集的定义

定义1：与区间?0,1?对等的集的基数称为连续基数（连续势），这个基数记作c． 推论1 c?a

证明： 由定理1.4.1 知，a?c．但?0,1???1,,,证毕．

推论2 开区间?0,1?的基数也是c． 定理2 全体实数所成之集R的基数是c． 证明 令 ?(x)?tan所以R的基数是c.

推论1 全体无理数所成之集的基数是c．

?11?23????1,2,3,?，故c?a.

2x?1?, x?(0,1)，则?是?0,1?到???,???上的一一映射，23 连续势集的性质（卡氏积）

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（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集

定理3 设A?{(x1,x2,,xn,):xi?(0,1)}，则A??（证明略）

推论 n维Euclid空间Rn的势为? （2） 连续势集的性质（并集）

连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集

定理4 实数列全体所成之集E?的基数是c．（证明略）

4 无最大势定理

定理5（Cantor）：设A是一个任意给定的非空集合，则2A?A..

证明：首先A与2的一个子集对等是显然的，只考虑A~{{a}:a?A}?2即可。

AA

假设A~2，则存在A到2上的一一映射?:A~2，令A?{a:a?A,a??(a)}， ***A由于A是A的子集，即A?2，因此存在a?A，使得?(a)?A ***

（1） 若a?A，则由A的定义，有a??(a)?A ***

（2） 若a?A??(a)，则由A的定义，有a?A

********A*AA这是矛盾的.故2A?A..

5 可数势与连续势

定理6：2N?R或{0，1}?R（即??20）

证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2与?0,1?对等；

NNN?下证：{0，1}??

N1},令f(?)?对任意的??{0，N?n?1??(n)3n1}N?[0,1]是单射，所以;易知f:{0，{0，1}N??.

另一方面，对?x?(0,1)，设x??制小数0.a1a2a3an, an?0,1（有无穷多1）（即：将x写成二进nn?12?，且要求不以0为循环节）.

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作g:(0,1)?{0,1}；xN??{0,1}N，其中?(n)?an,n?1,2,3,}）

（即将小数

0.a1a2a3对应到序列{a1,a2,a3,N(0,1)?{0,1}是单射，因此2N??. 由Bernstein定理知2N??. 易证g：连续统假设

Cantor认为在?0与?之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得?0?A??， 但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。

小 结. 直线上的区间是典型的不可数集. 证明一个给定的集是可数集或不可数集是应

当掌握的基本技巧.

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作业：P30 17, 18

练习题

1. 直线R1中任何包含非空开区间的点集都具有连续势?. 2. 设A?B??,则A，B中至少有一个势为?. 3. 设?An??,则An中至少有一个势为?.

n?1?4. [0,1]上的全体连续函数集E的势为?.

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