《实变函数》第一章 集合(2)

3)f(AB)?f(A)f(B),一般地有f(???A?)????f(A?);

证明的过程略 注：f(AB)?f(A)f(B) 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f为单射.

集合运算关于映射的性质（原像集）

定理2：设f:X?Y,A?X,C,D,C?(???)是Y的子集，称{x:f(x)?C}为C的原像集，记作f?1(C)(f不一定有逆映射），则有：

1)C?D?f?1(C)?f?1(D); 2)f?1(C3)f?1(CD)?f?1(C)D)?f?1(C)f?1(D),一般地有：f?1(???C?)????f?1(C?); f?1(C?);

???f?1(D),一般地有：f?1(???C?)?4)f?1(C\\D)?f?1(C)\\f?1(D);5)f?1(Cc)?[f?1(C)]c;6)A?f[f(A)];7)f[f?1(C)]?C;证明略.

注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射.

?1

3 对等与势

1）定义

设A，B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,记作A~B. 约定?~?.

注：（1）称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作A. （2）势是对有限集元素个数概念的推广. 2）性质

a)自反性：A~A;

b)对称性：A~B?B~A; c)传递性：A~B,B~C?A~C;

例：1)N~N奇数~N偶数~Z

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2)(?1,1)~(??,??)

证明：令f:x?t(g?2)，x则f是(?1,1)到(??,??)的一一映射.故

(?1,1)~(??,??)

注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能. 3)基数的大小比较

a)若A~B, 则称A?B；相当于：A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射. b)若A~B1?B,则称A?B；则称A?B. c)若A?B,且A?B，注：不能用A与B的一个真子集对等描述. 如：(?1,1)~(?1,1)?(??,??) 4 Bernstein定理

}B{:?是两个集族，?是一个指标集，又引理：设{A?:???，???????,A?~B?,而且{A?:???}中的集合两两不交，{B?:???}中的集合两两不交，

那么：

A?~??????B?

证明略

**

定理3:（Bernstein定理）若有A的子集A，使B~A,及B的子集B，使A~B,则

**A~B. 即：若A?B,B?A,则A?B.

证明：根据题设，存在A到B上的一一映射f，以及B到A上的一一映射g.令

*

*

A1?A\\A*，B1?f(A1)，A2?g(B1)，B2?f(A2)，A3?g(B2)，B3?f(A3)，

***由g(B)?A知A2?g(B1)?A,而A1?A\\A，故A1与A2不交. 从而A1,A2在f的

像B1,B2不交，B1,B2在g下的像A2,A3不交.

*由A3?A,知A1与A3不交，故A1,A2,A3两两不交.从而A1,A2,A3在f的像B1,B2,B3也两两不交，

两两不交，B1,B2,B3,也两两不交且An~Bn(n?1,2,f从而A1,A2,A3,所以

),

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?n?1An~n?1f?Bn

另外由Bk~Ak?1(k?1,2,g),可知

?k?1Bk~又B~A,所以

?g?k?1Ak?1

g*B\\k?1Bk~A\\k?1g*?Ak?1，A\\k?1?*???Ak?1?(A\\A1)\\k?1?Ak?1?A\\k?1Ak

? B\\k?1?Bk~A\\k?1?Ak

??? A?(A\\k?1Ak)(k?1Ak)~(B\\k?1Bk)(k?1Bk)?B

证毕．

注：要证A?B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A?B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.

例：(?1,1)~[?1,1]

证明：由(?1,1)?[?1,1]?(??,??)~(?1,1)可知，(?1,1)~[?1,1]

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作业：P30 9, 10

练习题

1. R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？ 2．证明:若A?B?C,AC,则ABC.

3. 证明：若A?B，AB?C.

4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M是[0,1]的全体子集所成的集合，则

A?C，则有BFM.

§3、可数集合

教学目的 介绍可数集概念及其运算它们的属性.

本节要点 可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以

与可数集联系起来, 可数集证明技巧较强 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.

本节难点证明集合可数.

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授课时数 2学时

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１ 可数集的定义

与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a或?0

1,2,3,4,5,6a1,a2,a3,a4,a5,a6

注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,a4,a5,a6例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3}

}

}

2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, ２ 可数集的性质（子集）

定理1 任何无限集合均含有可数子集.

证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为e1.则

M?{e1}??,在M?{e1}中取一元素e2,显然e2?e1.设从M中已取出n个互异元素

e1,e2,en,由于M是无限集，故M?{e1,e2,en.

,en}它显然是一个可数集．证

en}??,于是又可以从M?{e1,e2,en}中

取出一元素en?1,它自然不同于e1,e2,所以，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集{e1,e2,毕．

这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数． 可数集的性质（并集）

有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集

可数个可数集的并仍为可数集

A??a1,a2,a3,?，B??b1,b2,,bn?，C??c1,c2,c3,?

假设A,B,C两两不交，则

A?B??b1,b2,,bn,a1,a2,? （当集合有公共元素时，不重复排）

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A?C??a1,c1,a2,c2,a3,c3,?

关于可数个可数集的并仍为可数集的证明

a11, a12, a13, a14， a21, a22, a23, a24， a31, a32, a33, a34， a41, a42, a43, a44，

,,,，

当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；

?因此

n?1An是可数集。

说明: 与Hilbert旅馆问题比较; 如何把无限集分解成无限个无限集合的并?

例 全体有理数之集Q是可数集

首先[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，

Q?(Q?[0,1])?(Q?[?1,0])?(Q?[1,2])?(Q?[?2,?1])?所以Q是可数集（可数个可数集的并）

说明：有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).

3 可数集的性质（卡氏积）

定理：有限个可数集的卡氏积是可数集

只须证：设A,B是可数集，则A?B也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）

A?B?{(x,y)|x?A,y?B}??{(x,y)|y?B} x?A从而A?B也是可数集（可数个可数集的并）

例1 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集

证明：平面上的圆由其圆心(x,y) 和半径r唯一决定,从而

x固定，

y在变

变 A~Q?Q?Q??{(x,y,r)|x,y?Q,r?Q?}

例2 代数数全体是可数集

整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。

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