北工大水力学本科生作业习题

2-7设有一被水充满的容器，其中点A的压强由水银测压计读数h来确定,如图所示。若测压计向下移动一距离s，如图中虚线所示。试问测压针读数是否有变化?若有变化h又为多大?

题2—7

p解: 在测压计左支水银面的水平线上的压强pz，与右支该水平线上的压强y相等，有

pz?py （1）

由静水压强基本公式p2?p1??h，

pz?pA??H2OhH2O

py?pa??HghHg （2）

其中，Hg是右支水银面高出左支水银面的高度，hH2O是A点高出左支水银面的高度。由式（1）、式（2），得

hpA?pa?(?HghHg??H2OhH2O) （3）

当左支向下移动一段距离?z，右支向下移动一段距离?h，由式（3），得 A点压强不变，再由式（3），得 整理得

pA?pa?[?Hg(hHg??h)??H2O(hH2O??z)]

pa?(?HghHg??H2OhH2O)?pa?[?Hg(hHg??h)??H2O(hH2O??z)]

?h? 2-8杯式微压计，上部盛油，YO=9.0kN／m，下部盛水，圆杯直径D=40mm，圆管直径d=4mm，初始平衡位置读数h=0。当p1-p2=10mmH2O时，在圆管中读得的h(如图所示)为多大?

?H2O?z?Hg 3

题2—8

解: 在测压计右支水面的水平线上的压强由静水压强基本公式pa?pb??h，

py，与左支该水平线上的压强pz相等，有

pz?py （1）

py?p1??oil(hoil?YX?hoil?YS)

pz?p2??H2OhH2O?ZX??oil(hoil?ZX?hoil?ZS) （2）

其中，hoil?X、hoil?S是右支管中的水面以上到左支水面以下油的高度、是右支管中的左支水面以上管中油的高度和杯中的油的高度，hH2O?G、hoil?G、hoil?B是左支高出右支水面的高度、左支水面上管中和杯中的油的高度。由式（1）、式（2），得

p1?p2?[?H2OhH2O?ZX??oil(hoil?ZX?hoil?ZS)]??oil(hoil?YX?hoil?YS) （3）

注意到，左支水面以上到右支油面以下，左右两支油的高度相同，并且

hH2O?ZX?hoil?YX?h。由式（3），得

p1?p2?(?H2O??oil)h??oil2?hoil （3）

由于，管中油的上升体积等于杯中油的下降体积，得

?D2?hoil4所以

1?d2h??24

代入（3），得

hd?hoil??()22D

整理得

dp1?p2?(?H2O??oil)h??oilh()2D

h?代入数据，得

p1?p2d(?H2O??oil)??oil()2D

h?10?10?3?9.8?103(9.8?103?9.0?103)?9.0?103(42)40

2-9 设有一容器盛有三种各不相同的重度且各不相混的液体，如图所示，已知Y1=6.86

333333

×10N／m,Y2=9.8×1ON／m，y3=11.76×10N／m.试求三根测压管内的液面到容器底的高度h1、h2、h3。

10?10?3?9.8?103??110.1?10?3mm28.9?10

题2—9

解:容器液面处，容器液面处压强与上部测压管内压强相同，所以

h1?C?0，h1?6m

其中，h1?C是上部测压管内液体1的高度。

1-2液体界面的水平线上，容器内压强与中部测压管内压强相等，由静水压强基本公式

p2?p1??h，

pa??1h1?R?pa??2h2?C

h2?C??1h1?R?2

其中，h1?R、h2?C是容器中液体1的高度、1-2液体界面的水平线上处中部测压管中液体2的高度，所以，

h2?C6.86?103??2?1.4m9.8?103，h2?5.4m

2-3液体界面的水平线上，容器内压强与下部测压管内压强相等，由静水压强基本公式

p2?p1??h，

pa?(?1h1?R??2h2?R)?pa??3h3?C

?h??2h2?Rh3?C?11?R?3

其中，h2?R、h3?C是容器中液体2的高度、2-3液体界面的水平线上处中部测压管中液体3的高度，所以，

h2?C6.86?103?2?9.8?103?2??2.83mh?4.83m311.76?10，3

2—10 设有一盛有油和水的圆柱形澄清桶，如图所示。油和水之间的分界面借玻璃管

A来确定，油的上表面借玻璃管B来确定。若已知圆桶直径D=0.4m，h1=0.5m，h2=1.6m，试求桶内的水和油各为多少?(油的比重s=0.84)。若已知h1=0.2m，h2=1.2m，h3=1.4m。试求油的重度y。

题2—10

解：油-水界面的水平线上，容器内压强与下部测压管内压强相等，由静水压强基本公式，

pa??0h?pa??(h2?h1)

?(h2?h1)h??0 （1）

其中，h、h2是容器中油的高度、油-水界面的水平线上处左侧测压管中水的高度，所以，

所以油-水体积为

0.84?9.8?103h??(1.6?0.5)?0.924m9.8?103 3.14?0.42Voil?h??0.924?0.116m344 ?D23.14?0.42VH2O?h??0.5?0.0628m344

?D2由（1），h?h3?h1，所以

39.8?10?1.2?0???9.8?103h3?h11.4?1.2

?h2 2—11 设有两盛水的密闭容器,其间连以水银压差计，如图所示。已知容器内点A、点

B位于同一水平面，压差计左右两肢水银液面高差h=O.2m,试求点A、点B两点的压强差值。若点A、点B不位于同一水平面，两点相差dz=0.5m，如图中虚线所示，试求点A、点B两点的压强差值。

题2—11

解: 在压差计右支水面的水平线上的压强由静水压强基本公式p2?p1??h，

py，与左支该水平线上的压强pz相等，有

py?pz （1） py?pB??Hgh??H2Ohy

pz?pA??H2O(h?hz) （2）

其中，

hy、hz分别A、B点到右支水-水银界面该水平线的高度，hz?hy。由式（2）

，得

pA?pB?(?Hg??H2O)h

代入数据，得

pA?pB?(133.28?103?9.8?103)0.2?24.6?103N/m2

当右侧升高后，由静水压强基本公式p2?p1??h，有

py?pB??Hgh??H2Ohy??H2O?z

pz?pA??H2O(h?hz) （3）

其中，

hz?hy。由式（3）

，得

pA?pB?(?Hg??H2O)h??H2O?z

代入数据，得

2—12一直立煤气管，如图所示。在底部测压管中测d得水柱差h1=100mm,在H=20m高

3

处的测压管中测得水柱差h2=115mm，管外空气重度R=12.64N／m，求管中静止煤气的重度。

pA?pB?(133.28?103?9.8?103)0.2?9.8?103?0.5?29.596?103N/m2

题2—12

解:由静水压强基本公式，上部测压管与煤气管接口处压强为

pS?pa??Hgh2??gash2gas （1）

下部测压管压强为， 并且 所以

pX?pS??gasH

pX?pa??airH??Hgh1??gash1gas

pS?pa??Hgh1??airH??gash1gas??gasH （2）

由（1）、（2）式，设

h1gas?h2gas，得

?gas?代入数据，得

?airH??Hg(h1?h2)H

?gas12.64?20?9.8?103(115?100)?10-3??10.193

20 N／m

2—13设有一盛水密闭容器的表面压强为PO。试求该容器以重力加速度向地心运动(自

由下落)和等速铅垂向上运动时，液体内的压强分布规律。

解：将坐标系原点放在密闭容器底部处，z轴铅直向上。 作用在平衡液体质点上的质量力有： 铅直向下的重力

G=-mg

和铅直向下的惯性力

F=-mg

则单位质量的重力与惯性力在三个轴上的分量为

X1?0,Y1?0,Z1??g

X2?0,Y2?0,Z2??g

则单位质量力(重力与惯性力之和)在三个轴上的分量为

X1??2x,Y1??2y,Z1??2g

代入式(2-7)

dp??(Xdx?Ydy?Zdz)

得相对平衡液体内部压强分布规律，即

dp??(0dx?0dy?2gdz)

积分上式，

对于静止液体中任意两点来说，则上式可写为

p??2?gz?c

z1?或

p1p?z2?22?2?

p2?p1?2?(z1?z2)?p1?2?h

式中，z1,z2分别为任意两点在轴上的铅垂坐标值，p2,p1为上述两点的静压强，h为上述

两点间的铅垂向深度。

该容器以等速铅垂向上运动时，作用在平衡液体质点上的质量力，只有铅直向下的重力

G=-g

则单位质量的重力在三个轴上的分量为

X1?0,Y1?0,Z1??g

将式(2-37)代入式(2-7)

dp??(Xdx?Ydy?Zdz)

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