数学建模课程设计题目(4)

董事会综合考虑了各种因素，确定本集团设立的2004年度医疗保障基金的总额度为80万元，这一额度在四个子公司之间分配。对于各子公司，如果2004年度总的医疗费用支出低于该子公司的医疗保障基金的额度， 则雇员可以及时得到医疗方面的保障。 而如果总的医疗费用超过了医疗保障基金的额度， 则子公司需要通过其他渠道来筹措超出部分的额度。这会导致某些雇员无法及时报销医疗费用。

试确定80万元医疗保障基金在四个子公司之间的分配方案，并论证方案优良性。 表2给出了相关年度的通货膨胀指数。

表2—通货膨胀指数

日期 通货膨胀指数 日期 通货膨胀指数 1980年1月1日 100 1992年1月1日 181 1981年1月1日 105 1993年1月1日 182 1982年1月1日 115 1994年1月1日 189 1983年1月1日 128 1995年1月1日 191 1984年1月1日 130 1996年1月1日 197 1985年1月1日 140 1997年1月1日 200 1986年1月1日 150 1998年1月1日 210 1987年1月1日 151 1999年1月1日 211 1988年1月1日 152 2000年1月1日 215 1989年1月1日 160 2001年1月1日 217 1990年1月1日 175 2002年1月1日 219 1991年1月1日 180 2003年1月1日 226

注：2003年1月1日的通货膨胀指数为226，是指在1980年1月1日价格为100元的物品，在2003年1月1日价格为226元。

表1：公司A、公司B、公司C 和公司D的医疗费用支出（单位：万元） 年度 公司A 公司B 公司C 公司D 1980 8.28 8.81 8.02 10.50 1981 8.76 9.31 8.36 10.76 1982 9.29 10.41 9.20 11.34 1983 10.73 11.61 10.51 12.89 1984 10.88 11.39 10.70 13.20 1985 11.34 12.53 11.20 14.24 1986 11.97 13.58 13.01 14.90 1987 12.02 13.70 13.24 15.28 1988 12.16 13.32 13.82 15.20 1989 12.83 14.32 14.74 16.96 1990 13.90 15.84 17.33 19.23 1991 14.71 14.67 18.50 20.99 1992 16.11 14.99 17.72 23.22 1993 16.40 14.56 18.45 23.19 1994 17.07 14.55 19.77 24.04 1995 16.96 14.80 19.56 23.72 1996 16.88 15.41 19.70 24.88 1997 17.20 15.76 20.52 27.34 1998 19.87 16.76 22.51 28.12 1999 20.19 17.68 23.10 28.38

16

2000 20.00 17.33 23.24 28.81 2001 19.81 17.03 23.22 26.71 2002 19.40 16.95 23.76 19.82 2003 20.48 16.66 24.50 20.48

35、人民币汇率与经济

近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型，解决下列问题：

1．以英镑汇率为例，考察汇率与贸易额的线性关系，并据此说明汇率的变 化对英国经济的影响；

2．利用人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系，

探讨人民币汇率在什么范围内变化比较有利于我们经济持续、健康发展。

36、最佳捕鱼方案

一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和， 捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？请你建立相关模型求解，给出最佳答案。

37、最佳广告费用及其效应

某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。

表1 售价与预期销售量 表 2 广告费与销售增长因子 售价 预期销售量 2 41 2.5 38 3 34 3.5 32 4 29 4.5 28 5 25 5.5 22 6 20

广告费 销售增长因子

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0 1.0 10000 1.4 20000 1.7 30000 1.85 40000 1.95 50000 2.0 60000 1.95 70000 1.8 38、军用设备的海中投放

军用设备的海中投放 军方需要用轰炸机定点空投一军用球型设备到某海域，飞机速度为100米/秒，球型设备半径为0.1米，密度为0.85，当地海水密度为1.03，若此设备在水中的摩擦力与速度相反，且成正比，比例系数=0.5公斤.秒/米，（ g = 9.8 ）。 （1）、军方希望球型设备不要落入比65米还深的海水里，请你分析飞机当时应飞行的高度。 （2）、军方也关心球型设备停在海面上时的位子，请你给出。 （3）、描述球型设备的轨迹特征，并给出球型设备的一种轨迹图。

39、农场计划问题

英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。 一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。 其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。 贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？

40、住房贷款问题

年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款最高金额为拟购买住房费用的70%；贷款期限最长为20年。个人住房贷款利率如附表1所示。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表2中列出了在不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的。

近来经国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长

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到30年。每笔贷款年限由商业银行根据个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。个人住房贷款年利率最高水平降为5.58%，并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含五年）为年利率5.31%，五年以上为年利率5.58%

请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。 附表1：中国建设银行北京市分行个人住房贷款利率表

贷款期 1年（含） 1～3年（含） 3～5年（含） 5～10年（含） 10～20年（含） 月利率（‰） 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30 年利率（%） 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56

附表2：中国建设银行北京市分行个人住房贷款1～20年月均还款金额表（借款金额为一万元）单位：元

贷款期限（年） 年利率（%） 还款总额 利息负担总和 月均还款总额 1 6.12 10612.00 612.00 一次还本付息 5 6.66 11784.60 1784.60 196.41 20 7.56 19423.20 9423.20 80.93

41、大象群落的稳定发展

位于非洲某国的国家公园中栖息这近11000头象。管理者要求有一个健康稳定的环境一边维持这个11000头象的稳定群落。管理者逐年统计了象的数量，发现在过去的20年中，整个象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。

近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移是些象也比较困难，因此，要控制现的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。 目前在公园中已经很少发生移入和移出象的情况。象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施精良维持这个性别比。欣赏的幼象的性别比也在1：1左右。而双胞胎的机会接近于1.35%。

母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均美3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。每次怀孕期未22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。

新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率对各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。假定象的最高年龄是70岁，由于在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。

公园有一个近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计（见表）。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。 现在的任务是：

（1）探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。

（2）估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。

（3）假如每年转移50头到300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？ （4）如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），那时重新壮大象群的能力如何？ 前一年的情况 前两年的情况

年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数

1 0 0 31 3 0 1 0 0 31 13 7

19

2 0 0 32 5 2 2 20 10 32 16 12 3 0 0 33 8 5 3 21 12 33 13 6 4 3 2 34 12 3 4 13 3 34 10 6 5 4 1 35 10 4 5 12 5 35 10 0 6 7 2 36 3 1 6 13 4 36 12 8 7 20 10 37 7 3 7 22 4 37 16 5 8 9 2 38 14 2 8 14 7 38 12 2 9 15 7 39 10 0 9 40 21 39 10 4 10 9 3 40 16 12 10 14 8 40 12 6 11 22 12 41 21 11 11 26 10 41 19 10 12 3 1 42 13 4 12 13 10 42 13 7 13 23 13 43 10 6 13 14 4 43 24 10 14 5 2 44 12 4 14 27 12 44 17 10 15 13 6 45 6 4 15 3 1 45 16 4 16 21 10 46 3 2 16 14 3 46 25 12 17 0 0 47 6 0 17 12 8 47 12 3 18 22 12 48 9 3 18 20 10 48 45 23 19 14 6 49 13 2 19 25 11 49 23 12 20 5 4 50 10 4 20 17 14 50 34 10 21 13 7 51 3 1 21 14 10 51 13 9 22 10 5 52 6 4 22 10 7 52 16 4 23 0 0 53 21 11 23 0 0 53 10 4 24 13 5 54 15 6 24 2 0 54 17 7 25 30 12 55 4 1 25 3 0 55 13 3 26 14 6 56 13 4 26 4 2 56 13 6 27 12 5 57 10 5 27 4 2 57 12 3 28 0 0 58 32 12 28 3 1 58 3 2 29 20 10 59 14 8 29 2 1 59 22 11 30 6 5 60 0 0 30 3 0 60 20 10

42、草原鼠患问题

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:

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