数学建模课程设计题目

数学模型与数学实验课程设计选题

时 间：2015年9月1号 地 点：四合院306 指导教师：侯兰宝 电话：13997937876

面向对象：2012级数学与应用数学专业 要求与注意事项：

(1) 每个小组选做一个题目,每组不超过3人,自由组队；每个题最多有2组选做;

(2) 每个小组成员要认真参与问题解决和论文撰写过程,参与课程设计答辩，答辩不合格者，无学分；

(3) 严格按照课程设计的要求提交、装订课程设计论文;

(4) 论文正文部分应包含问题背景,算法原理,算法程序与操作过程, 以表格（图表）形式给

出的数据结果,对算法及误差的分析.

(5) 论文初稿于7月1日前交给指导老师(打印纸质版,同时发送电子版给指导教师).

1、生产计划

高校现有一笔资金100万元，现有4个投资项目可供投资。

项目A：从第一年到底四年年初需要投资，并于次年年末回收本利115%。

项目B：从第三年年初需要投资，并于第5年末才回收本利135%，但是规定最大投资总额不超过40万元。

项目C：从第二年年初需要投资，并于第5年末才回收本利145%，但是规定最大投资总额不超过30万元。

项目D：五年内每年年初可以买公债，并于当年年末归还，并可获得6%的利息。 (1) 试为该校确定投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

(2) 该校在第3年有个校庆，学校准备拿出8万元来筹办，又应该如何安排投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

2、投资方案的确定

现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化：以便适时调整生产率，获取最大收益。

某生产厂家年初要制定生产策略，已预测其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b＝1万单位／月的速度递增。若生产产品过剩，v560则需付单位产品单位时间(月)的库存保管费

v3C2?0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短缺损失费C3?0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1?1万元，试问该厂如何

v13020253020v418v215v615制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小? v7

3、选址问题

已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如表1所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

小区 1 2 3 4 5 6 7 人数 5359 8960 9600 7890 6731 7694 8136 表 各个小区的人数 4、高速公路修建费用问题

A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，如图给出了整个地区的大致地貌情况，

已知图中坐标系原点为O，OB为X轴，OA 为Y轴，经测量，曲线CD、EF、GH、IJ分别近似

?1?满足方程y?22?3sin?x?、

?3?7?1??1?y?38?sin?x?、y?51?3cos?x?、

2?3??5??1?y?68?4cos?x?。

?7?

图中显示可分为三条沿东西方向的地形带。已知每个地形带的造价如下：

地形带

平原 2

高地 高山 造价（万元/公里） 500 800 1400 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？

(a) 当道路转弯是，角度至少为1400。

(b)图中P是个重要的城市，其坐标为(44, 60)，道路必须通过P城。

5、混合泳接力赛队员游姿安排

某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4?100m混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩(至少3种模型与解法)。 成绩 自由泳/s 蛙泳/s 蝶泳/s 仰泳/s 甲 60 71 63 70 乙 63 70 67 69 丙 61 72 68 69 丁 59 72 64 64 6、生产计划问题

对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。

表1 季 度 产 品 1 2 3 4 I 1500 1000 2000 1200 II 1500 1500 1200 1500 III 1000 2000 1500 2500

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、3.7小时。因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。

7、制作最小运费表

XX公司在A,B,C,D,E,F,G,H的8个供货站点，各个站点之间的运费由下表所示（“—“表示这两个站点之间不可直达）： 供货站点 A B C D E F G H A 0 3.8 10.1 — — — — — B 3.8 0 — 5.4 — — — — C 10.1 — 0 6.6 — — — — D — 5.4 6.6 0 4.7 — 10.2 — E — — — 4.7 0 9 5.3 —

3

F — — — — 9 0 — 4.1 G — — — 10.2 5.3 — 0 6.21 H — — — — — 4.1 6.21 0 该公司想算出一张任意两个站点之间最小运费的表出来，试着作出这样一张表来(要给出算法、框图、模型、程序)。

8、最廉价飞机线路的选择

北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子公司之间，其出行所乘坐的交通工具是飞机，各个城市间的飞机线路，及票价如下表 城市 北京 天津 南京 青岛 上海 广州 深圳 西安 武汉 杭州 北京 0 50 INF 40 25 10 12 14 INF 15 天津 50 0 15 20 INF 25 20 INF 17 16 南京 INF 15 0 10 20 INF INF 26 28 INF 青岛 40 20 10 0 10 25 32 22 18 21 上海 25 INF 20 10 0 55 16 INF 21 24 广州 10 25 INF 25 55 0 17 24 INF 25 深圳 12 20 INF 32 16 17 0 16 27 18 西安 14 INF 26 22 INF 24 16 0 18 19 武汉 28 18 21 INF 27 18 0 20 INF 17 杭州 15 16 INF 21 24 25 18 19 20 0 (注：数字代表价格，INF表示城市之间没有线路。) 问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。

9、一年生植物的繁殖

一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上x0?500颗某种生植物。记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b, 活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b, 1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2，3岁种子发芽率a3。。设c?10,a7,0.1?4,0.a2,20.?a3?为固定， b是变量，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。

10、船票价格

某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当船速为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元，，若公司打算从每个乘客身上获得利润10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格。

11、湖水的自我净化问题

4

设一容积为V（单位：m）的大湖受到 某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

3若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位：m/天）。试建立求污染物浓度

3m下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。某湖的容积为5176*10^9（）,湖水的流量为

34.121*10^10(m/天)，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。

3

12、生产方案安排

某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：

加工时数 单 价 机床 甲 乙 丙 丁 （百元/件） 产品 A B 有效时数

（1）求收入最大的生产方案；

（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。

（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。

产品 A B 有效时数

精加工时间 2 2.4 248

13、考试安排

某校经预赛选出A、B、C、D四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？(至少3种模型与解法)。

课程 数学 物理 化学 外语 学生

90 95 78 83 A 85 89 73 80 B 93 91 88 79 C

79 85 84 87 D

14、生产方案安排

已知某厂生产有关参数： 单位消耗 限额 产品原料 A B C D E （公斤）

2 1 4 0 2 2 0 1 240 200 180 140 2 3 5

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