最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编13：导数(5)

不等式|m-1|≥g(x),对0≤x≤3成立,等价于|m-1|≥g(x)max成立 即m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1), m≤1-g(1) or m≥1+g(1) (3)设A(xx1,f(x1)),B(x2,f(x2)).C(x1?x33,f(x3)),且x1?x2?x3,x2?, 2则f(x1)?f(x2)?f(x3), ∴BA?(x1?x2,f(x1)?f(x2)),BC?(x3?x2,f(x3)?f(x2)), ∴BA?BC?(x3?x2)(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x2)?0. 所以B为钝角,?ABC是钝角三角形. f(x)?8ln(1?ex)?9x,f(x1)?f(xx1?x22)?2f(2) x1?x2=8[ln(1?ex1)(1?ex1)?ln(1?e2)2] x1?x2= 8[ln(1?ex1?ex2?ex1?x2)?ln(1?2e2?ex1?x2)] x1?x2∵xx1?2ex11?x2∴e?ex2?ex2?2e2 x1?x2∴1?ex1?ex2?ex1?x2?1?2e2?ex1?x2 ∴f(x1)?f(x1?x22)?2f(x2)?0 ∴f(x1?x2f(x1)?f(x2),故f(x)是R上的凹函数. 2)?2xxf'(x)?8ex恒成立∴f(x)在(??,??)上单调递减． 1?e?9??9?e1?ex?0若?ABC是等腰三角形,则只能是BA?BC. 即(x22221?x2)?[f(x1)?f(x2)]?(x3?x2)?[f(x3)?f(x2)] ∵x2?x1?x3∴[f(x1)?f(x2)]2?[f(x23)?f(x2)]f(x1)?f(x2)?f(x2.3)?f(x2) f(x1)?f(x2)?f(x2)?f(x3)∴f(x1?x3)?f(x1)?f(x3),22 这与f(x)是R上的凹函数矛盾,故?ABC是钝角三角形,但不可能是等腰三角形. 错

误

！

未

找

到引用

源

。 （1）解

当a?0时，f(x)?x2ex，f'(x)?(x2?2x)ex，故f'(1)?3e.

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

（2）解：f'(x)??x2?(a?2)x?2a2?4a?ex.

:

令f'(x)?0，解得x??2a，或x?a?2.由a?23知，?2a?a?2.

以下分两种情况讨论。 （1）若a＞

23，则?2a＜a?2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

?2a x???，?2a? ??2a，a?2? — ↘ a?2 ?a?2，??? + ↗ + ↗ 0 极大值 0 极小值 所以f(x)在(??，?2a)，(a?2，??)内是增函数，在函数f(x)在x??2a处取得极大值函数f(x)在x?a?2处取得极小值(?2a，a?2)内是减函数.

?2af(?2a)，且f(?2a)?3ae.

a?2f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)e.

（2）若a＜

x 23，则?2a＞a?2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

a?2 ???，a?2? + ↗ ?a?2，?2a? — ↘ ?2a ??2a，??? + ↗ 0 极大值 0 极小值 所以f(x)在(??，a?2)，(?2a，??)内是增函数，在函数f(x)在x?a?2处取得极大值函数f(x)在x??2a处取得极小值(a?2，?2a)内是减函数。

a?2f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ef(?2a)，且f(?2a)?3ae2x?2a.

.

错误！未找到引用源。 （1）f′（x）=ax-(2a+1)+ f′(1)=f′(3)

∴a-2a-1+2=3a-2a-1+∴-a+1=a-1323

a=

23

(2)注x>0！ f′(x)=

ax2?(2a?1)x?2x

∵x>0 ∴令f′(x)>0得ax2-(2a+1)x+2>0

∴f(x)在（0，2）在（2，+?）

<1>a=0时，得x<2

a?0时，f′(x)>0得(x-2)(ax-1)>0 <2>a<0时，f′(x)>0得(x-2)(x-∴f(x)在(0,2)在（2，+?） <3>a>0时f′(x)>0得(x-2)(x-①②③

1a1a1a1a1a)<0

)>0

=2 即a=

12时，f(x)在（0，+?）

12>2 即0

12时，f(x)在（

1a，+?）在（0，2）在（2，

1a1a）

时，f(x)在（0，）在（2, +?）在（

1a，2）

（3）fmax（x）

12时 f(x)在(0,2]

∴fmax(x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2<0 ∴a>ln2-1 ∴ln2-1

1212

1a1a2时，f(x)在（0，

1a）在（

1a，2）

1a∴fmax(x)=f(=

12a)=

a2·-(2a+1)·+2ln

1a

-2-

1a-2lna

1=2-2lna-

2a

12a=-2(1+lna)- ∵a>

12

12 ∴lna>ln>ln

1e=-1 ∴f(

1a)<0 ∴a>

12

经上

a>ln2-1

错误！未找到引用源。 【解】(Ⅰ)h(x)?ax2?lnx,h?(x)??2ax3?1x?x2?2ax3,

①a?0,h?(x)?0,函数h(x)在(0,??)上单调递增 ②a?0,h?(x)?0,x?h?(x)?0,0?x?2a,函数h(x)的单调递增区间为(2a,??)

2a,函数h(x)的单调递减区间为(0,2a)

(Ⅱ)存在x1,x2?[0,2],使得g(x1)?g(x2)?M成立 等价于:[g(x1)?g(x2)]max?M,

2考察g(x)?x3?x2?3,g'(x)?3x?2x?3x(x?),

3 2x g'(x) 0 (0,23) 23 (23,2] 2

0 ? 0 ? 极(最g(x) ?3 递减 )小值?8527递增 1 由知

上表

可:

285g(x)min?g()??,g(x)max?g(2)?1327,

[g(x1)?g(x2)]max?g(x)max?g(x)min?112,

所以满足条件的最大整数M?4;

(Ⅲ)当x?[,2]时,f(x)?221ax?xlnx?1恒成立

等价于a?x?xlnx恒成立,

2记h(x)?x?xlnx,所以a?hmax(x)

h'(x)?1?2xlnx?x, h'(1)?0.

记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?[,1),1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0

22即函数h(x)?x?xlnx在区间[,1)上递增,

112记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?(1,2],1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0

即函数h(x)?x?x2lnx在区间(1,2]上递减,

x?1,h(x)取到极大值也是最大值h(1)?1

所以a?1

另解m(x)?1?2xlnx?x,m'(x)??3?2lnx, 由于x?[,2],m'(x)??3?2lnx?0,

21所以m(x)?h'(x)?1?2xlnx?x在[,2]上递减,

21当x?[,1)时,h'(x)?0,x?(1,2]时,h'(x)?0,

21即函数h(x)?x?x2lnx在区间[,1)上递增,

21在区间(1,2]上递减,

所以h(x)max?h(1)?1,所以a?1

错误！未找到引用源。解:(1)f’(x)=

ax?1x?1(x>-1,a>0)

令f’(x)=0?x??f(x)在(-1,

1a1a?0

1a)为减,在(

xx?1,+?)为增 f(x)min=f(

1a)=1-(a+1)ln(

1a+1)

(2)设F(x)=ln(x+1)-1x?1(x?0)

F’(x)=?x?1?x(x?1)2?x(x?1)xx?12?0?F(x)在(0,+?)为增函数

F(x)>F(0)=0 ?F(x)>0即G(x)=x-ln(x+1)(x>0) G’(x)=1-1x?1xx?1?xx?1?ln(x?1)

?0 ?G(x)在(0,+?)为增函数

G(x)>G(0)=0 ?G(x)>0即ln(x+1)

?ln(x?1)?x

11??g?a??f()?1-?a?1?ln(?1)(3)由(1)知:? aa?a?0?

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