最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编13：导数(4)

错误！未找到引用源。解:(1)f'?x??f1x?a'?2x?1, …………1分

?x?0时,f?x?取得极值, ??0??0, …………2分

故

10?a?2?0?1?0,解得a?1.经检验a?1符合题意. …………3分

2（2）由a?1知f?x??ln?x?1??x?x,

由f?x???52x?b,得

ln?x?1??x?232x?b?0,

32x?b,则f2令??x??ln?x?1??x??x???52x?b在区间?0,2?上恰有两个不同的

实数根等价于??x??0在区间

'?0,2?上恰有两个不同的实数根.

??x??1x?1?2x?32???4x?5??x?1?2?x?1?,

当x??0,1?时,?当x??1,2?时,?'?x??0,于是??x?在?0,1?上单调递增;

'?x??0,于是??x?在?1,2?上单调递减.…………6分

???0???b?0?3?依题意有???1??ln?1?1??1??b?0,

2????2??ln?1?2??4?3?b?0?解得,ln3?1?b?ln2?(3)

12. …………9分

2f?x??ln?x?1??x?x的定义域为?x?2x?3??xx??1?,由(1)知

f'?x??'?x?1?,

32令f?x??0得,x?0或x??(舍去), ?当?1?x?0时, f'?x??0,f?x?单

调递增; 当x?0时, f'?x??0,f?x?单调递减. ?f?0?为f?x?在??1,???上的最大

值. …11分

?f?x??f?0?,故ln?x?1??x?x?0(当且仅当x?0时,等号成立)

2对任意正整数n,取x?11?1?1?0得,ln??1???2, …………12分n?n?nn?n?1?n?1?ln???2nn ??故2?34?49???n?1n2?ln2?ln32?ln43???lnn?1n?ln?n?1?. …………14分

（方法二）数学归纳法证明： 当n?1时，左边?1?112?2，右边?ln(1?1)?ln2，显然2?ln2，不等式成立.

34?492假设n?k?k?N*,k?1?时，2?则n?k?1时，有2?34?49???k?1k2?ln?k?1?成立，

???k?1k?k?2?k?1??2?k?2?k?1?2?ln?k?1?.做差比较：

ln?k?2??ln?k?1??k?2?k?1?2?lnk?2k?1k?2?k?1?2?1??11??ln?1?????2?k?1??k?1(k?1)??

构建函数F?x??ln?1?x??x?x,x??0,1?，则F??x??2?x?2x?3?x?1?0，

?F?x?在?0,1?单调递减，?F?x??F?0??0.

取x?1k?1?k?1,k?N*?，ln?1????1??1???F?0??0 ??2?k?1??k?1(k?1)?1即ln?k?2??ln?k?1??k?2?k?1?492?0，亦即

k?2?k?1?22?ln?k?1??ln?k?2?，

故n?k?1时，有2?34????k?1k2?k?2?k?1??k?2?k?1?2?ln?k?1??ln?k?2?，

不等式成立.

综上可知，对任意的正整数n,不等式2?错

误

！

未

找

34?49到

???n?1n引

2?ln?n?1?都成立.

用

源

。

错

误

！

未

找

到

引

用

源

。

错误！未找到引用源。解:(1)g(x)?x?(a?1)x?aln(1?x)?(a?1)lnx(x?0),g(x)?2x?(a?1)?'2a1?x?a?1x(x?0), 依题设,有g(1)?0,所以a=8. (2)g(x)?x2?7x?8ln(1?x)?9lnx(x?0) g(x)?2x?7?''81?x?9x?(x?1)(x?3)(2x?3)x(x?1)(x?0),由g(x)?0',得x?1或x?3 函数g(x)增区间(0,1),减区间(1,3) 函数g(x)在x=3处取得极小值,g(x)min=g(3);函数g(x)在x=1处取得极大值g(x)max=g(1),

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