线性代数习题参考答案(4)

6． 设A为实对称矩阵，若A?0，证明A?0。

(提示：证A中各元素为0)

7． 若A为n阶方阵，且满足AAT?E。 若A?0，求E?A。 (提示：先证明E?A??E?A)

8． 试证：若A为奇数阶方阵，且满足AA?E，A?1，则E?A?0。 (提示：先证明E?A??E?A)

9． 若A为奇数阶反对称方阵，证明：A?0。 (提示：由反对称阵的定义证明)

T2 16

10． 设A,B都是对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是AB?BA。

11． 设n阶方阵A?(aij)，B?(bij)，且A与B的各行元素之和为1，?是n?1矩阵，

且每个元素都为1，求证： (1) A???；

(2) AB的各行元素之和都等于1；

(3) 若A,B各行元素之和分别为k,t，则AB的各行元素之和都等于什么？

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§2 逆矩阵

1． 判断正误(A,B,C均为n阶方阵)

(1) AB?0?A?0或B?0。 ( ) (2) AB?AC?B?C。 ( ) (3) A为n阶方阵。则A2?A?A?E或A?0。 ( (4) A?1?1A。 ( (5) ?AB??1?B?1A?1，?AB?T?BTAT。 ( (6) A*(A*)*?A*E。 ( 2． 填空

?21(1) 设A??3??012??，则A? ，A*? ，

??101??A?1= 。

(2) 设A为3阶方阵，且A?4，则A?1= ，(4A)?1= ，

13A*?4A?1= ，(A*)T= 。 ?100?(3) 已知A*BA?2AB?12E, A???0?20??，则B= 。

??001??(4) 设??14??X???31??，则X= 。

??12??0?1?

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) ) )

)

3． 设A?0，证明：(E?A)k?1?E?A?A2?2?Ak?1。

(提示：证明(E?A)(E?A?A?

?Ak?1)?E)

4． 设方阵A满足A?A?2E?0，证明：A及A?2E都可逆，并求其逆矩阵。 （提示：利用可逆的定义证明）

*5． 设A是n阶方阵，证明：(1) 若A?0，则A*?0；(2) A?An?12；(3)

(A*)*?An?2A,(A?0)。

* （提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式AA?AE）

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6． 设n阶非零方阵A的伴随矩阵为A*，且A*=AT，求证：A?0。 (提示：可考虑用反证法证明)

7． 设A是n阶方阵，如有非零矩阵B使AB?0，则|A|?0。

8． 设A,B,A?B,A?B均为n阶可逆方阵，求(A?B)。

?1?1?1?1?1 20

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