2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）（理科 试题卷与(2)

(A?B)cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)?[1?cos(A?B)]cosB?sin(A?B)sin(A?C)?cosB23?cos(A?B)cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?B+B)?cosA??52cos2所以cosA??3 5（2）由正弦定理，sinB?bsinA22，则cos，又由余弦定理有?B?a22????????32?c2?252，解得 c?1或c?7（舍），故向量BA在BC方向上的投影cosB??22?42c????????????????BA?BCBA?BCcosB2 ?????c?cosB???????2BCBC

18．(本小题满分12分)

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在

1,2,3,???,24

这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为

i的

概率Pi(i?1,2,3)；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序

重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i?1,2,3)的频数．

以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分） 运行 次数n 输出y的值 输出y的值 输出y的值 为1的频数 为2的频数 为3的频数 运行 次数n 输出y的值 输出y的值 输出y的值 为1的频数 为2的频数 为3的频数 30 … 14 … 6 … 10 … 30 … 12 … 11 … 7 … 2100 1027 376 697 2100 1051 696 353 当n?2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i?1,2,3)的频率

（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数?的分布列及数学期望． 【解析】

（1）当i?1时，即输出的数为奇数，奇数有12个，则P1?当i?3时，即输出的数为能整除3的偶数，有4个，则P3?即输出的数为剩下的8个，则P2?1， 21，当i?2时， 61111?P?P?， 即P，， 1233236P（2）甲：1=10273766971051696353，P2=，P3=P=，P=，P= 乙： 123210021002100210021002100根据频率的趋势与概率可知，乙编写的程序更符合算法要求. （3）设输出y的值为2为事件A，且P(A)?布列为 1，则该实验为独立重复事件，次数?的分3? P 00 1 2 3 8 273034 912 921 2784?1??2?1?1??2?， P(??1)?C3， P(??0)?C??????????9?3??3?27?3??3?1?1??2?23?1??2?， P(??2)?C32?????， P(??3)?C3?????3393327????????2130E(?)?0?

8421?1??2??3??1. 279927CAC1A1PDBD1B119．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC?A1B1C中，侧棱AA1?底面ABC，AB?AC?2AA1，

?BAC?120?，D,D1分别是线段BC,B1C1的中点，P是线段AD的中点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，

说明理由，并证明直线l?平面ADD1A1；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，

?N的余弦值． 求二面角A?AM1【解析】

（1）由题意可知，直线l?BC，又AB?AC，D是BC的中点，则BC?AD，又在三棱柱ABC?A1B1C中，BC?DD1，且AD,DD1?ADD1A1， 则BC?ADD1A1，所以直线l?平面ADD1A1

（2）连接A1P，过A作AE?A1P于E，过E作EF?A1M于F，连接AF.

由（1）知，MN?平面AEA1，所以平面AEA1?平面A1MN，所以AE?平面A1MN，则A1M?AE.所以A1M?平面AEF，则A1M?AF.故?AFE为二面角A?A1M?N 的平面角（设为?）.

设AA1?1，则由AB?AC?2AA1，又P为AD的中点， ，有?BAD?60?，AB?2，AD?1，的中点，

所以M为AB中点， 且AP?1，AM?1， 2所以，在Rt?AA1P,A1P?5,在在Rt?A1MP,A1M?2, 2从而AE?AA1?APAA?AM11 ?,AF?1?A1PA1M52所以sin??AE215?,cos??1?sin2??AF55

x2y220．(本小题满分13分) 已知椭圆C：2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为

abF1(?1,0),F2(1,0)，

且椭圆C经过点P(,)． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且

4133211，求点Q的轨迹方程． ??222|AQ||AM||AN|【解析】（1）?椭圆过焦点F1，故c?1，

?a?b?1…………………………………………………………………………① 又因椭圆过点P

2241()2()2 ?32?32?1……………………………………………………………………②

ab2?c12?a?2 由①②解得?2 故椭圆的离心率为? ?a2b?12??（2）当直线l的斜率k存在时，设直线方程l:y?kx?2

?x212??y2?12由?2得(k?)x?4kx?3?0

2?y?kx?2?1???(4k)2?4(k2?)?3?4k2?6?0

2解得k?66或k?? 22再令方程两个根分别为x1，x2，则

4k?x?x???1212k???2…………………………………………………………………③ ??xx?31?122k???2令M(x1,y1)，N(x2,y2)，设Q(x,y) 由

211得 ??222AQAMAN11?k(x?2)

22?11?kx221?11?kx222?2x12?x21?kxx22212，

将③代入上式化简得18?10(y?2)?3x，其中x?(?

2266135,),y?(,2?]， 2225?x2?2x?a,x?021．(本小题满分14分)已知函数f(x)??，其中a是实数．设A(x1,f(x1))，

?lnx,x?0B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1?x2．

（Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，求x2?x1的最小值； （Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 【解析】解：（1）f'(x)?2x?2(x?0) 令f'(x)?0，得x??1。又f(x)?lnx,x?0

?f(x)的单调增区间为[?1,0),(0,??)；减区间为(??,?1)。

（2）由（1）f'(x)?2x?2(x?0) ?kA?2x1?2，kB?2x2?2 由题意得(2x1?2)?(2x2?2)??1(x1??1,?1?x2?0)

11?(x1?1)?(x2?1)?? ?x1?1??

44(x2?1)?x2?1?0

?x2?x1?(x2?1)?(x?11)?(x?21)?14(x2?1)?2(x?21)?14(x2?1)?1

（3）设y?lnx上一点C(x0,y0)(x0?0)在切线上，且直线与抛物线切于y轴左侧，则

1?y?lnx??x?x0?0?x0只有一个负解， ??y?x2?2x?a??x2?2x?a?lnx0?x?1有唯一负根， x0?x2?(2?1)x?a?1?lnx0?0有唯一负根， x0???(2?112)?4(a?1?lnx0)?0且2??0，

x0x0?a?111(x?) ??lnx0024x02x0121g(u)?u?u?lnu 令u??(0,2)，

4x012u?u?1112?0在(0,2)上恒成立， g'(u)?u?1??2uu?g(u)在(0,2)上递减，故a?g(u)?g(2)??ln2?1

?a的取值范围为(?ln2?1,??)。

(试卷由四川省开江中学胡本荣老师整理. 说明：查看或打印试卷请在电脑上先安装字体文件：mtextra)

2013-07-05

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