2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）（理科 试题卷与

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（理工类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合A?{x|x?2?0}，集合B?{x|x?4?0}，则A?B?（ ） （A）{?2} （B）{2} （C）{?2,2} （D）? 【答案】选A

【解析】A???2?,B??2,?2?，则A?B???2?

2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ） （A）A （B）B （C）C （D）D 【答案】选B

【解析】若z?a?bi（a?0,b?0），则z?a?bi（a?0,?b?0），则选B 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）

2xABOCyD

【答案】选D 【解析】三视图的判定

4．设x?Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:?x?A,2x?B，则（ ） （A）?p:?x?A,2x?B （B）?p:?x?A,2x?B

（C）?p:?x?A,2x?B （D）?p:?x?A,2x?B 【答案】选D

【解析】含全称量词的命题的否定 5．函数f(x)?2sin(?x??)(??0,?是（ ） （A）2,??2????2)的部分图象如图所示，则?,?的值分别

?3

（B）2,??6

（C）4,??6

（D）4,?3【答案】选A 【解析】由图可知，

3T5?3?2??????2， ，T??,??41234T又点(55?????,2)在图像上，则?????2k?， 又????，则??? 12623222y?1的渐近线的距离是（ ） 6．抛物线y?4x的焦点到双曲线x?322（A）

31 （B） （C）1 （D）3 22【答案】选B

【解析】抛物线y?4x的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线y?3x， 则(1,0)到直线y?3x的距离d?233 ?21?3x37．函数y?x的图象大致是（ ）

3?1

【答案】选C

x2【解析】x?0时，x?0,3?1?0,x?0，再求导即或根据函数单调性可知，选C

3?12x8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a,b，共可得到lga?lgb的不同值的个数是（ ）

（A）9 （B）10 （C）18 （D）20 【答案】选C

【解析】排列组合，C5A2?2?18.

9．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A）

221137 （B） （C） （D） 4248【答案】选C

?0?x?4?【解析】几何概型.?0?y?4。

?|x?y|?2?10．设函数f(x)?ex?x?a（a?R，e为自然对数的底数）．若曲线y?sinx上存在

(x0,y0)

使得f(f(y0))?y0，则a的取值范围是（ ）

（A）[1,e] （B）[e,1] （C）[1,1?e] （D）[e,e?1] 【答案】选A

【解析】因为f(f(y0))?y0，所以y0?0，又因为(x0,y0)在函数y?sinx上，所以y0?1

所以问题转化为f(f(x))?x在[0,1]上有解，

若f(x)?x在[0,1]上恒成立，则f(f(x))?f(x)?x，则f(f(x))?x在[0,1]上无解，

同理若f(x)?x在[0,1]上恒成立，则f(f(x))?f(x)?x。 所以f(f(x))?x在[0,1]上有解等价于所以f(x)?x在[0,1]上有解

?1?1即x?ex?x?a?a??x2?x?ex,x?[0,1]

令g(x)??x?x?e,x?[0,1]，所以g'(x)??2x?1?e?0,x?[0,1] 所以a?[1,e]

2xx第二部分 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，

确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．二项式(x?y)的展开式中，含xy的项的系数是____________．（用数字作答） 【答案】10

2【解析】因为二项式(x?y)，xy的系数为C5?10

523523????????????12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB?AD??AO，则??____________．

【答案】2

????????????????【解析】AB?AD?AC?2AO，则??2

13．设sin2???sin?，??(【答案】3 ?2,?)，则tan2?的值是____________．

os???【解析】sin2??2sin?cos???sin?，则c2tan??23??3 21?tan?1?3?1)，，又??(,?则tan???3 22tan2??14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)?x?4x，那么，不等式

2f(x?2)?5的解集是____________．

【答案】(?7,3)

2【解析】当x?0时，f(x)?x?4x?5，解得0?x?5，则f(x)?5的解为?5?x?5

所以f(x?2)?5，即是?5?x?2?5，即?7?x?3

15．设P在平面?内的所有点中，若点P到P1,P2,?,Pn为平面?内的n个点，1,P2,?,Pn点

的距离之和最小，则称点P为P1,P2,?,Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点．则有下列命题：

①若A,B,C三个点共线，C在线段上，则C是A,B,C的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A,B,C,D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）

【答案】①④ 【解析】

①直接由题意可知是真命题

②假设直角三角形不是等腰直角三角形，斜边上的高与斜边的交点到斜边两端点的距离与中点到斜边两端点的距离相等，但高的交点到直角顶点的距离比中点到直角顶点的距离要小，所以斜边的中点不是中位点，错误

③存在但不唯一，假设四个点依次是A,B,C,D，则线段AD上的任意一点到A,D的距离之和都是AD的长，只需要在找出BC的中位点即可，则A,B,C,D的中位点是线段BC上的任意一点，错误

④利用三角形的两边之和大于第三边即可得到是真命题

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{an}中，a2?a1?8，且a4为a2和a3的等比中项， 求数列{an}的首项、公差及前n项和．

??a1?d?4?a1?4?a1?1?a1?a3?8【解析】?2或? ????2d?0d?3a?a?a3ad?d?0?4??29?1?

（1）当a1?4,d?0时，Sn?4n；

3n2?n（2）当a1?1,d?3时，Sn?

2

17．(本小题满分12分) 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，

A?B3cosB?sin(A?B)sinB??． 25（Ⅰ）求cosA的值；

????????（Ⅱ）若a?42，b?5，求向量BA在BC方向上的投影．

且2cos2【答案】cosA??32， 52【解析】（1）由意题可知

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